A radiação dipolar elétrica tem campos elétrico (abaixo, E=aE sin theta e^i(k r-omega t)r theta, B=aB sin theta e^i(k r-omega t)r phi e aEaB=omegak=c=(mu0 epsilon0)^-1 / 2 são constantes)
.
Mostre que as equações de Maxwell são satisfeitas se
(Dica: descarte os tempos de ordem em diante, uma vez que as expressões para e só valem para distância grandes em relação à fonte).

Passo 1

A questão dá os campos da radiação dipolar elétrica no regime de zona distante:
E=aE,sintheta,e^i(kr-omega t)r,theta, B=aB,sintheta,e^i(kr-omega t)r,phi
O objetivo é mostrar que as equações de Maxwell em vazio
nablatimesE=-partialBpartial t, nablatimesB=mu0epsilon0,partialEpartial t
só são satisfeitas se
aE/aB=omega/k=c=(mu0epsilon0)^-1/2.
Vamos descartar termos de ordem 1/r^2 pois estamos na zona distante.

Passo 2

Precisamos aplicar as fórmulas de divergência e rotacional em coordenadas esféricas. Como E só tem componente theta, seu rotacional tem apenas componente phi dado por
(nablatimesE)phi=1r,partial(rEtheta)partial r
Como rEtheta=aEsintheta,e^i(kr-omega t), temos
partial(rEtheta)partial r=ik,aEsintheta,e^i(kr-omega t),
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nablatimesE=ik,aEsintheta,e^i(kr-omega t)r;phi

Passo 3

Pela lei de Faraday nablatimesE=-partialB/partial t calculamos
-partialBpartial t=-partialpartial tl(aBsinthetae^i(kr-omega t)rphir)=iomega,aBsinthetae^i(kr-omega t)rphi
Igualando aos valores do rotacional de E obtemos
$$ik,a_{E}=i\omega,a_{B}\quad\Rightarrow\quad k,a_{E}=\omega,a_{B}\quad\Rightarrow\quad\frac{a_{E}}{a_{B}}=\frac{\omega}{k}.
$$

Passo 4

Agora aplicamos Ampère-Maxwell: para B=Bphiphi o rotacional tem componente theta dado por
(nablatimesB)theta=-partial Bphipartial r
Como
Bphi=aBsinthetae^i(kr-omega t)r,
temos
partial Bphipartial r=ik,aBsinthetae^i(kr-omega t)r+O(1/r^2)
(onde descartamos 1/r^2), então
nablatimesB=-ik,aBsintheta,e^i(kr-omega t)r;theta

Passo 5

Pela lei de Ampère-Maxwell
nablatimesB=mu0epsilon0partialEpartial t=mu0epsilon0iomega,aEsinthetae^i(kr-omega t)rtheta
Comparando as amplitudes:
$$-ik,a_{B}=i\omega,\mu_{0}\epsilon_{0},a_{E}\quad\Rightarrow\quad k,a_{B}=\omega,\mu_{0}\epsilon_{0},a_{E}.
-ik,aB=iomega,mu0epsilon0,aERightarrow k,aB=omega,mu0epsilon0,aE \Bigl(\frac{\omega}{k}\Bigr)^{2}=\frac{1}{\mu_{0}\epsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad\frac{\omega}{k}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}=c.
$$

Passo 6

Combinando tudo, concluímos que para satisfazer simultaneamente Faraday e Ampère-Maxwell no campo afastado é necessário que
$$\frac{a_{E}}{a_{B}}=\frac{\omega}{k}=c=(\mu_{0}\epsilon_{0})^{-1/2}.
$$

Resposta

aEaB=omegak=c=l(mu0epsilon0r)^-1/2.

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