A radiação dipolar elétrica tem campos elétrico (abaixo,
e
são constantes)
.
Mostre que as equações de Maxwell são satisfeitas se
(Dica: descarte os tempos de ordem
em diante, uma vez que as expressões para
e
só valem para distância grandes em relação à fonte).
Mostre que as equações de Maxwell são satisfeitas se
Passo 1
A questão dá os campos da radiação dipolar elétrica no regime de zona distante:
O objetivo é mostrar que as equações de Maxwell em vazio
só são satisfeitas se
.
Vamos descartar termos de ordem pois estamos na zona distante.
Vamos descartar termos de ordem
Passo 2
Precisamos aplicar as fórmulas de divergência e rotacional em coordenadas esféricas. Como
só tem componente
, seu rotacional tem apenas componente
dado por
Como
, temos
logo
Passo 3
Pela lei de Faraday
calculamos
Igualando aos valores do rotacional de
obtemos
$$ik,a_{E}=i\omega,a_{B}\quad\Rightarrow\quad k,a_{E}=\omega,a_{B}\quad\Rightarrow\quad\frac{a_{E}}{a_{B}}=\frac{\omega}{k}.
$$
Passo 4
Agora aplicamos Ampère-Maxwell: para
o rotacional tem componente
dado por
Como
temos
(onde descartamos
), então
Passo 5
Pela lei de Ampère-Maxwell
Comparando as amplitudes:
$$-ik,a_{B}=i\omega,\mu_{0}\epsilon_{0},a_{E}\quad\Rightarrow\quad k,a_{B}=\omega,\mu_{0}\epsilon_{0},a_{E}.
$$
Passo 6
Combinando tudo, concluímos que para satisfazer simultaneamente Faraday e Ampère-Maxwell no campo afastado é necessário que
$$\frac{a_{E}}{a_{B}}=\frac{\omega}{k}=c=(\mu_{0}\epsilon_{0})^{-1/2}.
$$