- Nos Exercícios 26-28, determine a derivada direcional de
no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo
.
, ponto ( 1,1 ),
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o ângulo
.
As tarefas pedidas: encontrar a derivada direcional de no ponto
na direção definida por
.
Informações relevantes: a direção é dada pelo ângulo no plano, e devemos usar a função e o ponto fornecidos.
As tarefas pedidas: encontrar a derivada direcional de
Informações relevantes: a direção é dada pelo ângulo
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação bem didática):
A derivada direcional de num ponto na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos do ponto naquela direção. A forma prática que usamos em cálculo é:
A derivada direcional de
onde
é o gradiente de
no ponto
e
é um vetor unitário.
O gradiente junta as derivadas parciais da função:
O gradiente
onde
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante).
Importante: o vetor direção precisa ser unitário. Como o enunciado deu um ângulo , o vetor unitário correspondente é
Importante: o vetor direção precisa ser unitário. Como o enunciado deu um ângulo
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo (aqui mostro as regras usadas):
Para usamos a regra do poder e tratamos a outra variável como constante.
Para
Derivada parcial em relação a
:
Como
é constante em relação a
,
.
Como é constante em relação a
,
.
Portanto,
Como
Portanto,
Derivada parcial em relação a
:
Aqui
e
são constantes quando derivamos em
. Então
e
.
Portanto,
Portanto,
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
:
Substituímos e
nas expressões obtidas.
Substituímos
Para
:
Para
:
Assim o gradiente no ponto
é
Passo 5
Construir o vetor unitário
correspondente ao ângulo
:
Usamos a fórmula . Para
conhecemos as razões trigonométricas básicas:
Usamos a fórmula
Portanto
Passo 6
Calcular a derivada direcional como produto escalar
:
Fazendo a soma: