• Nos Exercícios 26-28, determine a derivada direcional de f no ponto dado e na direção indicada pelo ângulo \theta.
    f(x, y)=x^{3} y^{4}-x^{4} y^{3}, ponto ( 1,1 ), \quad \theta=\pi / 6.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}, o ponto (1,1) e o ângulo \theta=\pi/6.
As tarefas pedidas: encontrar a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção definida por \theta=\pi/6.
Informações relevantes: a direção é dada pelo ângulo \theta no plano, e devemos usar a função e o ponto fornecidos.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação bem didática):
A derivada direcional de f num ponto na direção de um vetor unitário u mede a taxa de variação de f quando nos movemos do ponto naquela direção. A forma prática que usamos em cálculo é:
D_{u}f(p)=\nabla f(p)\cdot u,
onde \nabla f(p) é o gradiente de f no ponto p e u é um vetor unitário.
O gradiente \nabla f junta as derivadas parciais da função:
\displaystyle \nabla f(x,y) = \bigl(f_{x}(x,y),\,f_{y}(x,y)\bigr),
onde f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante).
Importante: o vetor direção precisa ser unitário. Como o enunciado deu um ângulo \theta, o vetor unitário correspondente é
u=(\cos\theta,\sin\theta).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo (aqui mostro as regras usadas):
Para \,f(x,y)=x^{3}y^{4}-x^{4}y^{3}\, usamos a regra do poder e tratamos a outra variável como constante.
Derivada parcial em relação a x:
f_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{4}\bigr)-\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}y^{3}\bigr).
Como y^{4} é constante em relação a x, \frac{\partial}{\partial x}(x^{3}y^{4})=3x^{2}y^{4}.
Como y^{3} é constante em relação a x, \frac{\partial}{\partial x}(x^{4}y^{3})=4x^{3}y^{3}.
Portanto,
\boxed{\,f_{x}(x,y)=3x^{2}y^{4}-4x^{3}y^{3}\,}.
Derivada parcial em relação a y:
f_{y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}y^{4}\bigr)-\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{3}\bigr).
Aqui x^{3} e x^{4} são constantes quando derivamos em y. Então \frac{\partial}{\partial y}(x^{3}y^{4})=4x^{3}y^{3} e \frac{\partial}{\partial y}(x^{4}y^{3})=3x^{4}y^{2}.
Portanto,
\boxed{\,f_{y}(x,y)=4x^{3}y^{3}-3x^{4}y^{2}\,}.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (1,1):
Substituímos x=1 e y=1 nas expressões obtidas.
Para f_{x}(1,1):
f_{x}(1,1)=3\cdot1^{2}\cdot1^{4}-4\cdot1^{3}\cdot1^{3}=3-4=-1.
Para f_{y}(1,1):
f_{y}(1,1)=4\cdot1^{3}\cdot1^{3}-3\cdot1^{4}\cdot1^{2}=4-3=1.
Assim o gradiente no ponto (1,1) é
\displaystyle \nabla f(1,1)=\bigl(-1,\;1\bigr).

Passo 5

Construir o vetor unitário u correspondente ao ângulo \theta=\pi/6:
Usamos a fórmula \,u=(\cos\theta,\sin\theta)\,. Para \theta=\pi/6 conhecemos as razões trigonométricas básicas:
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
Portanto
\displaystyle u=\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2},\;\frac{1}{2}\Bigr).

Passo 6

Calcular a derivada direcional como produto escalar \nabla f(1,1)\cdot u:
D_{u}f(1,1)=(-1,1)\cdot\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\Bigr) = -1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 1\cdot\frac{1}{2}.
Fazendo a soma:
D_{u}f(1,1)=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1-\sqrt{3}}{2}

Exercícios relacionados