Encontre todas as derivadas parciais de primeira ordem:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+x y+\cos \left(y^{2}\right)\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y) = \ln\bigl(x^{2}+x\,y+\cos(y^{2})\bigr).
Estamos lidando com derivadas parciais de uma função composta, pois há o logaritmo de uma expressão em x e y. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e calcular primeiro a derivada do “interior” em relação a cada variável.

Passo 2

Definimos
u(x,y)=x^{2}+x\,y+\cos(y^{2}).
Para \partial f/\partial x, a regra da cadeia diz
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{u(x,y)}\;\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora,
\frac{\partial u}{\partial x} =2x + y,
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\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x + y}{\,x^{2}+x\,y+\cos(y^{2})\,}.

Passo 3

Para \partial f/\partial y, aplicamos a regra da cadeia de novo:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{u(x,y)}\;\frac{\partial u}{\partial y}.
Calculamos
\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+x\,y+\cos(y^{2})\bigr) =x - \sin\bigl(y^{2}\bigr)\cdot 2y =x - 2y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr).
Então
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x - 2y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)}{\,x^{2}+x\,y+\cos(y^{2})\,}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x + y}{\,x^{2}+x\,y+\cos(y^{2})\,}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{x - 2y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)}{\,x^{2}+x\,y+\cos(y^{2})\,}.

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