Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
, no ponto
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
Passo 1
Beleza, amigo! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto específico
. Então, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente as derivadas parciais, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o plano tangente a uma superfície num ponto dado pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. A equação geral do plano tangente a uma função
no ponto
é:
Passo 3
Vamos definir a função
. Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
no ponto
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 6
Percebemos que todas as derivadas parciais são iguais a zero no ponto
. Isso indica que o vetor normal ao plano tangente é o vetor zero, o que significa que a superfície tem uma direção plana nesse ponto. Portanto, qualquer plano que passe pelo ponto
pode ser considerado tangente.
Passo 7
Porém, para ter uma equação específica, podemos considerar a linearização da função
em torno do ponto
. Como as derivadas parciais são zero, a equação do plano tangente simplifica-se para:
Isso não nos dá informações úteis, indicando que a superfície tem um comportamento mais complexo nesse ponto.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é simplesmente:
Isso significa que, nesse ponto específico, a superfície não tem um plano tangente único tradicional.