Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
Determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
x^3+y^3+z^3=3 x y z, no ponto (1,1,1)

Passo 1

Beleza, amigo! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz no ponto específico (1, 1, 1) . Então, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo, especialmente as derivadas parciais, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o plano tangente a uma superfície num ponto dado pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. A equação geral do plano tangente a uma função F(x, y, z) = 0 no ponto (x0, y0, z0) é:
partial Fpartial x(x0, y0, z0)(x - x0) + partial Fpartial y(x0, y0, z0)(y - y0) + partial Fpartial z(x0, y0, z0)(z - z0) = 0

Passo 3

Vamos definir a função F(x, y, z) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz . Nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de F em relação a x , y e z no ponto (1, 1, 1) .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Fpartial x = 3x^2 - 3yz
partial Fpartial y = 3y^2 - 3xz
partial Fpartial z = 3z^2 - 3xy

Passo 5

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto (1, 1, 1) :
partial Fpartial x(1,1,1) = 3(1)^2 - 3(1)(1) = 3 - 3 = 0
partial Fpartial y(1,1,1) = 3(1)^2 - 3(1)(1) = 3 - 3 = 0
partial Fpartial z(1,1,1) = 3(1)^2 - 3(1)(1) = 3 - 3 = 0

Passo 6

Percebemos que todas as derivadas parciais são iguais a zero no ponto (1, 1, 1) . Isso indica que o vetor normal ao plano tangente é o vetor zero, o que significa que a superfície tem uma direção plana nesse ponto. Portanto, qualquer plano que passe pelo ponto (1, 1, 1) pode ser considerado tangente.

Passo 7

Porém, para ter uma equação específica, podemos considerar a linearização da função F(x, y, z) em torno do ponto (1, 1, 1) . Como as derivadas parciais são zero, a equação do plano tangente simplifica-se para:
0 cdot (x - 1) + 0 cdot (y - 1) + 0 cdot (z - 1) = 0
Isso não nos dá informações úteis, indicando que a superfície tem um comportamento mais complexo nesse ponto.

Resposta

A equação do plano tangente à superfície x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz no ponto (1, 1, 1) é simplesmente:
0 = 0
Isso significa que, nesse ponto específico, a superfície não tem um plano tangente único tradicional.

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