Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
z=ln (x^2+y^2), no ponto (1,1, ln (2))

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Queremos encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por z = ln(x^2 + y^2) no ponto específico (1, 1, ln(2)). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a determinar a inclinação da superfície em um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o ponto (1, 1, ln(2)) realmente está na superfície z = ln(x^2 + y^2) . Substituindo x = 1 e y = 1 na equação:
z = ln(1^2 + 1^2) = ln(1 + 1) = ln(2)
Como o valor de z confere, o ponto está correto na superfície.

Passo 3

Agora, para achar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de z em relação a x e y . As derivadas parciais nos dão as inclinações do plano nas direções de x e y .
Primeiro, calculemos partial zpartial x :
partial zpartial x = 1x^2 + y^2 cdot 2x = 2xx^2 + y^2
Agora, partial zpartial y :
partial zpartial y = 1x^2 + y^2 cdot 2y = 2yx^2 + y^2

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 1):
partial zpartial x|(1,1) = 2 cdot 11^2 + 1^2 = 22 = 1
partial zpartial y|(1,1) = 2 cdot 11^2 + 1^2 = 22 = 1
Esses valores representam as inclinações do plano tangente nas direções de x e y .

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z - z0 = partial zpartial x|(x0,y0) (x - x0) + partial zpartial y|(x0,y0) (y - y0)
Onde (x0, y0, z0) é o ponto de tangência.

Passo 6

Substituindo os valores que temos:
z - ln(2) = 1 cdot (x - 1) + 1 cdot (y - 1)
Simplificando:
z - ln(2) = x - 1 + y - 1
z = x + y - 2 + ln(2)

Resposta

A equação do plano tangente à superfície z = ln(x^2 + y^2) no ponto (1, 1, ln(2)) é:
z = x + y - 2 + ln(2)

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