Quais das estruturas algébricas a seguir são grupos (relativas às operações usuais)?
, sendo
é ímpar
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
, onde
é um grupo sob a multiplicação usual. O que precisamos checar são as quatro propriedades de grupo: fechamento, associatividade, identidade e existência de inversos.
Passo 2
Verificamos o fechamento: dados
, ambos ímpares, o produto
é sempre ímpar (pois o produto de dois ímpares é ímpar). Logo,
e o conjunto é fechado sob a multiplicação.
Passo 3
A associatividade decorre da multiplicação usual dos inteiros, que sabemos ser associativa. Portanto, para todo
, vale
Passo 4
O elemento neutro da multiplicação em
é
, e
é ímpar, logo
. Assim existe elemento identidade em
.
Passo 5
Para ser grupo, cada
precisaria ter inverso multiplicativo
. Mas em
o inverso de
é
, que só é inteiro (e ímpar) quando
. Por exemplo, para
teríamos
, portanto
. Logo nem todo elemento de
tem inverso em
.