Quais das estruturas algébricas a seguir são grupos (relativas às operações usuais)?
(B, cdot), sendo B=x in Z mid x é ímpar .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
(B,cdot), onde
B = ,xinZmid x é ímpar, éí
é um grupo sob a multiplicação usual. O que precisamos checar são as quatro propriedades de grupo: fechamento, associatividade, identidade e existência de inversos.

Passo 2

Verificamos o fechamento: dados a,bin B, ambos ímpares, o produto acdot b é sempre ímpar (pois o produto de dois ímpares é ímpar). Logo,
acdot bin B,
e o conjunto é fechado sob a multiplicação.

Passo 3

A associatividade decorre da multiplicação usual dos inteiros, que sabemos ser associativa. Portanto, para todo a,b,cin B, vale
(acdot b)cdot c = acdot(bcdot c)

Passo 4

O elemento neutro da multiplicação em Z é 1, e 1 é ímpar, logo 1in B. Assim existe elemento identidade em B.

Passo 5

Para ser grupo, cada ain B precisaria ter inverso multiplicativo a^-1in B. Mas em Z o inverso de a é 1/a, que só é inteiro (e ímpar) quando a=pm1. Por exemplo, para a=3 teríamos a^-1 = 1/3notinZ, portanto 1/3notin B. Logo nem todo elemento de B tem inverso em B.

Resposta

(B,cdot) não é grupo, pois nem todos os elementos têm inverso multiplicativo em B.

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