Quais das estruturas algébricas a seguir são grupos (relativas às operações usuais)?
(Z+, cdot).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a estrutura algébrica (Z+,cdot) é um grupo, usando a definição de grupo (associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos e fechamento).

Passo 2

Primeiro, notamos que a operação usual de multiplicação é sempre associativa em Z+, e que o conjunto é fechado sob multiplicação (o produto de dois inteiros positivos é outro inteiro positivo).
Em seguida, identificamos o elemento neutro: na multiplicação, o neutro é 1, e de fato para todo ainZ+ vale 1cdot a = acdot 1 = a.

Passo 3

Por fim, analisamos a existência de inversos: um elemento ainZ+ só teria inverso multiplicativo em Z+ se existisse binZ+ tal que acdot b=1. Isso só ocorre para a=1. Para a>1, o inverso 1/a não pertence a Z+.
Como nem todo elemento de Z+ possui inverso em Z+, a estrutura falha na condição de existência de inversos e, portanto, não é um grupo.

Resposta

(Z+,cdot) não é um grupo, pois elementos maiores que 1 não têm inverso multiplicativo em Z+.

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