Quais das estruturas algébricas a seguir são grupos (relativas às operações usuais)?
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a estrutura algébrica
é um grupo, usando a definição de grupo (associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos e fechamento).
Passo 2
Primeiro, notamos que a operação usual de multiplicação é sempre associativa em
, e que o conjunto é fechado sob multiplicação (o produto de dois inteiros positivos é outro inteiro positivo).
Em seguida, identificamos o elemento neutro: na multiplicação, o neutro é 1, e de fato para todo vale
.
Em seguida, identificamos o elemento neutro: na multiplicação, o neutro é 1, e de fato para todo
Passo 3
Por fim, analisamos a existência de inversos: um elemento
só teria inverso multiplicativo em
se existisse
tal que
. Isso só ocorre para
. Para
, o inverso
não pertence a
.
Como nem todo elemento de possui inverso em
, a estrutura falha na condição de existência de inversos e, portanto, não é um grupo.
Como nem todo elemento de