Encontre a equação do plano tangente à superfície dada no ponto especificado:
z=e^{\wedge}(x y), no ponto (0,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente à superfície
z = e^{xy}
no ponto (0,1,1).
Para isso vamos usar cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente de uma função z=f(x,y).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=e^{xy}:
f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}e^{xy} = y\,e^{xy},
f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}e^{xy} = x\,e^{xy}.

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x_0,y_0)=(0,1):
f_x(0,1) = 1\cdot e^{0\cdot1} = 1,
f_y(0,1) = 0\cdot e^{0\cdot1} = 0.

Passo 4

A fórmula do plano tangente é
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).
Substituindo x_0=0, y_0=1, z_0=1, f_x(0,1)=1 e f_y(0,1)=0, vem
z - 1 = 1\,(x - 0) + 0\,(y - 1),
ou seja
z = x + 1.

Resposta

A equação do plano tangente é
z = x + 1.

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