( 1,0 ponto) Determine \partial z / \partial x e \partial z / \partial y se z=f(x, y) é dada implicitamente por
x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1 .

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1
e pede as derivadas parciais \partial z/\partial x e \partial z/\partial y. O conteúdo aqui é diferenciação implícita, pois z depende de x e y de forma não explícita.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, derivamos ambos os lados de
x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} = 1
em relação a x, tratando y como constante e lembrando que z = z(x,y). Fazendo as derivadas termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) = 2x,\quad \frac{\partial}{\partial x}(2y^{2}) = 0,\quad \frac{\partial}{\partial x}(3z^{2}) = 6z\,\frac{\partial z}{\partial x}.
Somando e igualando a zero, obtemos
2x + 6z\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0.

Passo 3

Isolando \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} na equação
2x + 6z\,\frac{\partial z}{\partial x} = 0
temos
6z\,\frac{\partial z}{\partial x} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{6z} = -\frac{x}{3z}.

Passo 4

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, derivamos a mesma relação implícita em relação a y, tratando x como constante. As derivadas são:
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}) = 0,\quad \frac{\partial}{\partial y}(2y^{2}) = 4y,\quad \frac{\partial}{\partial y}(3z^{2}) = 6z\,\frac{\partial z}{\partial y}.
Somando e igualando a zero, obtemos
4y + 6z\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0.

Passo 5

Isolando \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} em
4y + 6z\,\frac{\partial z}{\partial y} = 0
segue
6z\,\frac{\partial z}{\partial y} = -4y \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{4y}{6z} = -\frac{2y}{3z}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{3z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{3z}.

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