Lembre-se que se y=f(x), então o valor de f^{\prime}\left(x_{0}\right) pode ser interpretado ou como a taxa de variação de y em relação a x no ponto x_{0} ou como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x_{0}. As derivadas parciais têm interpretações análogas. Desta forma, chamamos f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) de inclinação da superfície na direção x em \left(x_{0}, y_{0}\right), e f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) de inclinação da superfície na direção y em \left(x_{0}, y_{0}\right). (Adaptado de Howard Anton, Cálculo um Novo Horizonte)
Seja f(x, y)=x^{2} y+5 y^{3}.
(a) Determine a inclinação da superfície z=f(x, y) na direção x no ponto (1,-2).
(b) Determine a inclinação da superfície z=f(x, y) na direção y no ponto (1,-2).
(c) Determine a equação do plano tangente a superfície z=f(x, y) no ponto (1,-2).

Passo 1

O enunciado pede para a superfície z = f(x,y) com
f(x,y) = x^2 y + 5y^3
no ponto (x_0,y_0) = (1,-2):
– (a) achar a inclinação na direção x, isto é f_x(1,-2);
– (b) achar a inclinação na direção y, isto é f_y(1,-2);
– (c) montar a equação do plano tangente em (1,-2,f(1,-2)).
Para isso precisamos usar as derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) \;+\; f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 y + 5y^3\bigr) = 2x\,y.
Agora avaliamos em (1,-2):
f_x(1,-2) = 2 \cdot 1 \cdot (-2) = -4.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 y + 5y^3\bigr) = x^2 + 15\,y^2.
Avaliando em (1,-2):
f_y(1,-2) = 1^2 + 15\cdot(-2)^2 = 1 + 15\cdot4 = 1 + 60 = 61.

Passo 4

Primeiro calculamos o valor de z_0 = f(1,-2):
f(1,-2) = 1^2\cdot(-2) + 5\cdot(-2)^3 = -2 - 40 = -42.
Então a equação do plano tangente fica
z - (-42) = -4\,(x-1) \;+\; 61\,(y - (-2)),
ou seja
z + 42 = -4(x-1) + 61(y+2).
Podemos simplificar:
z + 42 = -4x +4 +61y +122 = -4x +61y +126
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z = -4x + 61y + 126 - 42 = -4x +61y +84.

Resposta

(a) A inclinação na direção x é -4.
(b) A inclinação na direção y é 61.
(c) A equação do plano tangente é
\boxed{z = -4x + 61y + 84.}

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