Lembre-se que se
, então o valor de
pode ser interpretado ou como a taxa de variação de
em relação a
no ponto
ou como a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. As derivadas parciais têm interpretações análogas. Desta forma, chamamos
de inclinação da superfície na direção
em
, e
de inclinação da superfície na direção
em
. (Adaptado de Howard Anton, Cálculo um Novo Horizonte)
Seja
.
(a) Determine a inclinação da superfície
na direção
no ponto
.
(b) Determine a inclinação da superfície
na direção
no ponto
.
(c) Determine a equação do plano tangente a superfície
no ponto
.
(a) Determine a inclinação da superfície
(b) Determine a inclinação da superfície
(c) Determine a equação do plano tangente a superfície
Passo 1
O enunciado pede para a superfície
com
no ponto
:
– (a) achar a inclinação na direção , isto é
;
– (b) achar a inclinação na direção , isto é
;
– (c) montar a equação do plano tangente em .
Para isso precisamos usar as derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
– (a) achar a inclinação na direção
– (b) achar a inclinação na direção
– (c) montar a equação do plano tangente em
Para isso precisamos usar as derivadas parciais e a fórmula do plano tangente:
Passo 2
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Agora avaliamos em
:
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Avaliando em
:
Passo 4
Primeiro calculamos o valor de
:
Então a equação do plano tangente fica
ou seja
Podemos simplificar:
logo
Resposta
(a) A inclinação na direção
é
.
(b) A inclinação na direção é
.
(c) A equação do plano tangente é
(b) A inclinação na direção
(c) A equação do plano tangente é