Encontre a equação do plano tangente a superfície f(x, y)=x^{2} y no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície definida por z = f(x,y)=x^{2}y no ponto (1,2). Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de f e da fórmula geral do plano tangente a uma função de duas variáveis:
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y):
f_{x}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) = 2x\,y,
f_{y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y) = x^{2}.

Passo 3

Avaliar f(1,2), f_{x}(1,2) e f_{y}(1,2):
z_{0} = f(1,2) = 1^{2}\cdot 2 = 2,
f_{x}(1,2) = 2\cdot 1\cdot 2 = 4,
f_{y}(1,2) = 1^{2} = 1.

Passo 4

Substituir esses valores na fórmula do plano tangente:
z - 2 = 4\,(x - 1) + 1\,(y - 2).
Agora simplificamos:
z - 2 = 4x - 4 + y - 2 \quad\Longrightarrow\quad z = 4x + y - 4.

Resposta

z = 4x + y - 4.

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