Encontre uma equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado e as equações paramétricas da reta normal correspondente
x^2+y^4-z=0(1,1,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície de nível definida por f(x,y,z)=x²+y⁴–z no ponto (1,1,2), e as equações paramétricas da reta normal a essa superfície nesse ponto. Vamos usar o conceito de gradiente e de plano tangente a nível de f.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Lembrando que o gradiente ∇f(x,y,z) é o vetor de derivadas parciais:
∇f(x,y,z) = (∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)
Para f(x,y,z)=x²+y⁴–z temos
∂f∂x=2x, ∂f∂y=4y³, ∂f∂z=-1 ³

Passo 3

Avaliar o gradiente em (1,1,2):
∇f(1,1,2)= (2·1,,4·1³,,-1) = (2,4,-1) ³
Esse vetor é normal ao plano tangente.

Passo 4

Escrever a equação do plano tangente. Se n=(A,B,C) é normal e P₀=(x₀,y₀,z₀) é o ponto, então
A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0
Aqui A=2, B=4, C=-1 e P₀=(1,1,2), logo:
2(x-1)+4(y-1)-1(z-2)=0
Simplificando:
2x+4y-z-4=0

Passo 5

Para a reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente e o ponto (1,1,2). Assim, as equações paramétricas são
x=1+2t, y=1+4t, z=2-1·t

Resposta

Tangent plane:
2x+4y-z-4=0
Normal line parametric equations:
x=1+2t, y=1+4t, z=2-t

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