Encontre uma equação do plano tangente à superfície de nível no ponto dado e as equações paramétricas da reta normal correspondente
Passo 1
O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície de nível definida por f(x,y,z)=x²+y⁴–z no ponto (1,1,2), e as equações paramétricas da reta normal a essa superfície nesse ponto. Vamos usar o conceito de gradiente e de plano tangente a nível de f.
Passo 2
Calcular o gradiente de f. Lembrando que o gradiente ∇f(x,y,z) é o vetor de derivadas parciais:
Para f(x,y,z)=x²+y⁴–z temos
Passo 3
Avaliar o gradiente em (1,1,2):
Esse vetor é normal ao plano tangente.
Passo 4
Escrever a equação do plano tangente. Se n=(A,B,C) é normal e P₀=(x₀,y₀,z₀) é o ponto, então
Aqui A=2, B=4, C=-1 e P₀=(1,1,2), logo:
Simplificando:
Passo 5
Para a reta normal, usamos o vetor direção igual ao gradiente e o ponto (1,1,2). Assim, as equações paramétricas são
Resposta
Tangent plane:
Normal line parametric equations: