Encontre a equação para o plano tangente à superfície
x=e^u y=v^2 e^2 u z=2 e^-u+v
no ponto ( 1,4,0 ).

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica definida por
x = e^u, y = v^2e^2u, z = 2e^-u + v
e pede a equação do plano tangente em (1,4,0).
Conteúdo: derivadas parciais de superfícies, produto vetorial para obter o vetor normal e equação cartesiana do plano.

Passo 2

Encontrar (u0,v0) tal que
e^u0 = 1, v0^2e^2u0 = 4, 2e^-u0 + v0 = 0
Da primeira, u0=0. Substituindo em v0^2=4 v0=pm2. Para z=0 temos 2 + v0=0, logo v0=-2. Assim (u0,v0)=(0,-2).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais
r(u,v) = l(e^u,;v^2e^2u,;2e^-u+vr)
ru = l(e^u,;2v^2e^2u,;-2e^-ur), rv = l(0,;2v,e^2u,;1r)
Em (0,-2) isso vale
ru(0,-2) = (1,;8,;-2), rv(0,-2) = (0,;-4,;1)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
n = ru(0,-2)times rv(0,-2) = i&j&k 1&8&-2 0&-4&1 = (0,;-1,;-4)
Podemos usar (0,1,4). A equação do plano em (x0,y0,z0)=(1,4,0) é
0,(x-1) + 1,(y-4) + 4,(z-0) = 0

Resposta

y +4z =4

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