O gerente de uma fábrica de calçados estima que, t meses após o início de uma campanha publicitária, S(t) centenas de pares serão vendidos, em que
S(t)=3t+2-12(t+2)^2+5
O gerente pretende encerrar a campanha quando a taxa de aumento do número de vendas atingir o valor mínimo. Em que mês isso vai acontecer? Quais serão, nesse mês, o nível de vendas e a taxa de aumento do nível de vendas?

Passo 1

O enunciado dá a função de vendas
S(t)=3t+2-12(t+2)^2+5
em que t é o tempo em meses e S(t) está em centenas de pares vendidos. Queremos encontrar o instante t em que a taxa de aumento de vendas S'(t) alcança o valor mínimo. Para isso, vamos:
  1. Calcular S'(t).
  2. Encontrar o ponto crítico de S'(t) resolvendo S''(t)=0.
  3. Verificar que é mínimo.
  4. Avaliar S( t) e S'(t) nesse ponto.

Passo 2

Calculando a derivada primeira, escrevemos
S(t)=3,(t+2)^-1-12,(t+2)^-2+5
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S'(t)=-3,(t+2)^-2+24,(t+2)^-3

Passo 3

Agora obtemos a derivada segunda para achar o extremo de S'(t):
S''(t)=6,(t+2)^-3-72,(t+2)^-4
Igualando a zero,
6,(t+2)^-4l((t+2)-12r)=0 Longrightarrow t+2=12 Longrightarrow t=10

Passo 4

Para confirmar que t=10 é mínimo de S'(t), note que:
  • Para t<10, t+2<12 faz S''(t)<0 (derivada de S' decrescente).
  • Para t>10, t+2>12 faz S''(t)>0 (derivada de S' crescente).
    Portanto, S'(t) tem um ponto de mínimo em t=10.

Passo 5

Avaliação em t=10:
  1. Nível de vendas
S(10) =310+2-12(10+2)^2+5 =312-12144+5 =0,25-0,08333+5 =5,1667
ou seja, 5,1667 centenas de pares approx 516,67 pares.
  1. Taxa de aumento
S'(10) =-312^2+2412^3 =-3144+241728 =-0,020833+0,013889 =-0,006944
ou seja -0,006944 centenas de pares por mês approx -0,6944 pares por mês.

Resposta

O gerente deve encerrar a campanha no 10.º mês.
Nesse mês, o nível de vendas será cerca de 516,67 pares, e a taxa de aumento (na verdade, decréscimo) será de -0,006944 centenas de pares por mês (aprox. -0,6944 pares/mês).

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