O gerente de uma fábrica de calçados estima que,
meses após o início de uma campanha publicitária,
centenas de pares serão vendidos, em que
O gerente pretende encerrar a campanha quando a taxa de aumento do número de vendas atingir o valor mínimo. Em que mês isso vai acontecer? Quais serão, nesse mês, o nível de vendas e a taxa de aumento do nível de vendas?
Passo 1
O enunciado dá a função de vendas
em que
é o tempo em meses e
está em centenas de pares vendidos. Queremos encontrar o instante
em que a taxa de aumento de vendas
alcança o valor mínimo. Para isso, vamos:
- Calcular
. - Encontrar o ponto crítico de
resolvendo . - Verificar que é mínimo.
- Avaliar
e nesse ponto.
Passo 2
Calculando a derivada primeira, escrevemos
Logo
Passo 3
Agora obtemos a derivada segunda para achar o extremo de
:
Igualando a zero,
Passo 4
Para confirmar que
é mínimo de
, note que:
- Para
, faz (derivada de decrescente). - Para
, faz (derivada de crescente).
Portanto,tem um ponto de mínimo em .
Passo 5
Avaliação em
:
- Nível de vendas
ou seja,
centenas de pares
pares.
- Taxa de aumento
ou seja
centenas de pares por mês
pares por mês.
Resposta
O gerente deve encerrar a campanha no 10.º mês.
Nesse mês, o nível de vendas será cerca de pares, e a taxa de aumento (na verdade, decréscimo) será de
centenas de pares por mês (aprox.
pares/mês).
Nesse mês, o nível de vendas será cerca de