Seja r(u, v)=(u^2 cos (v), u^2 sen(v), u),-3 <= u <= 3,0 <= v <= 2 pi.
Mostre que a equação vetorial acima é uma parametrização da superfície x^2+y^2=z^4.

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização
r(u,v) = l(u^2cos v,;u^2sin v,;ur)
com -3 <= u <= 3, 0 <= v <= 2pi, e pede para mostrar que essa parametrização gera a superfície
x^2+y^2=z^4
Vamos então verificar (i) que toda imagem de r(u,v) satisfaz essa equação e (ii) que todo ponto da superfície pode ser obtido por algum (u,v).

Passo 2

Se (x,y,z)=r(u,v), então
x = u^2cos v, y = u^2sin v, z = u
Calculamos
x^2+y^2 = (u^2cos v)^2 + (u^2sin v)^2 = u^4l(cos^2v + sin^2vr) = u^4

Passo 3

Por outro lado,
z^4 = (u)^4 = u^4
Portanto, para todo (u,v) no domínio, a imagem satisfaz
x^2+y^2 ;=; u^4 ;=; z^4,
mostrando que r(u,v) de fato produz pontos na superfície x^2+y^2=z^4.

Passo 4

Agora precisamos ver que todo ponto (x,y,z) da superfície com zin[-3,3] pode ser obtido. Suponha (x,y,z) tal que
x^2+y^2=z^4 e zin[-3,3]
Basta escolher
u = z,
pois então x^2+y^2=u^4 implica
l(x/u^2r)^2 + l(y/u^2r)^2 = 1,
então existe vin[0,2pi] tal que
x = u^2cos v, y = u^2sin v
Isso mostra que r(u,v) = (x,y,z).

Resposta

A função r(u,v) = l(u^2cos v,;u^2sin v,;ur) com -3<= u<=3, 0<= v<=2pi satisfaz
x^2+y^2=u^4=z^4
e, invertendo, todo ponto da superfície x^2+y^2=z^4 (com |z|<=3) aparece para algum (u,v). Logo é de fato uma parametrização de x^2+y^2=z^4.

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