Seja
.
Mostre que a equação vetorial acima é uma parametrização da superfície
.
Mostre que a equação vetorial acima é uma parametrização da superfície
Passo 1
O enunciado nos dá a parametrização
com ,
, e pede para mostrar que essa parametrização gera a superfície
com
Vamos então verificar (i) que toda imagem de
satisfaz essa equação e (ii) que todo ponto da superfície pode ser obtido por algum
.
Passo 2
Se
, então
Calculamos
Passo 3
Por outro lado,
Portanto, para todo
no domínio, a imagem satisfaz
mostrando que
de fato produz pontos na superfície
.
Passo 4
Agora precisamos ver que todo ponto
da superfície com
pode ser obtido. Suponha
tal que
Basta escolher
pois então
implica
então existe
tal que
Isso mostra que
.
Resposta
A função
com
,
satisfaz
e, invertendo, todo ponto da superfície
(com
) aparece para algum
. Logo é de fato uma parametrização de
.