Encontre a equação quadrática que descreve a cônica:
Elipse de focos F1=(0,0) e F2=(3,2) e eixo maior medindo 7

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujos focos são F1=(0,0) e F2=(3,2) e cujo eixo maior mede 7.
Conteúdo: elipse definida pela soma das distâncias a dois focos igual a constante 2a. Aqui 2a=7, logo a=7/2.

Passo 2

O centro da elipse é o ponto médio dos focos:
(h,k) = l(tfrac0+32,,tfrac0+22r) = l(tfrac32,,1r)
A distância do centro a cada foco é
c = raizl(tfrac32r)^2 + 1^2 = raiz132
Em elipse vale b^2 = a^2 - c^2, ou seja
b^2 = 494 - 134 = 364 = 9,
logo b=3.

Passo 3

Para colocar em forma canônica girada, tomamos o vetor dos focos (3,2) e definimos vetores unitários
u1 = 1raiz13(3,2) e u2 = 1raiz13(-2,3)
Para um ponto genérico P=(x,y), o vetor a partir do centro é
v=(x-tfrac32,;y-1)
A forma canônica da elipse é
(vcdot u1)^2a^2 ;+;(vcdot u2)^2b^2 ;=;1

Passo 4

Calculamos os produtos escalares:
vcdot u1 = 3(x-tfrac32)+2(y-1)raiz13, vcdot u2 = -2(x-tfrac32)+3(y-1)raiz13
Substituindo em
(vcdot u1)^2(7/2)^2 + (vcdot u2)^23^2 = 1
e multiplicando primeiro por 49cdot9=441 e depois por 13, obtemos
36l(3x+2y-tfrac132r)^2 ;+;49l(-2x+3yr)^2 ;=;5733

Passo 5

Expandindo e reunindo termos semelhantes, fica
520x^2 -156xy +585y^2 -1404x -936y +1521 = 5733
Subtraindo 5733 dos dois lados e dividindo toda a equação por 13, a forma final simplificada é
40x^2 -12xy +45y^2 -108x -72y -324 = 0

Resposta

40x^2 -12xy +45y^2 -108x -72y -324 = 0

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