Encontre a equação quadrática que descreve a cônica:
Parábola de foco F=(1,1) e reta diretriz d: y=x-1 ;

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é (1,1) e cuja diretriz é a reta
y = x - 1
Para resolver, usamos a definição de parábola: dado um ponto genérico (x,y), a distância até o foco deve ser igual à distância até a diretriz.

Passo 2

Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto qualquer da parábola. A distância até o foco (1,1) é
raiz(x-1)^2 + (y-1)^2
A reta diretriz pode ser escrita em forma geral como
x - y - 1 = 0,
cuja distância de (x,y) a ela é
l|x - y - 1r|raiz1^2 + (-1)^2 = lvert x - y - 1rvertraiz2
Pela definição de parábola, igualamos essas duas distâncias.

Passo 3

Igualando e elevando ao quadrado para eliminar a raiz, temos
l(x-1r)^2 + l(y-1r)^2 = (x - y - 1)^22
Multiplicando ambos os lados por 2,
2l[(x-1)^2 + (y-1)^2r] = (x - y - 1)^2

Passo 4

Expandindo:
  • Lado esquerdo:
2l(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1r) = 2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4
  • Lado direito:
(x - y - 1)^2 = x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 1
Igualando e trazendo tudo para o mesmo lado:
2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4 - l(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 1r) = 0,
que simplifica para
x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 6y + 3 = 0

Resposta

A equação da parábola é
x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 6y + 3 = 0

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