Escreva as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto P=(1,2,2) e cujo vetor diretor é v=3 i-j+k. (Resposta: r:lx=1+3 t y=2-t z=2+t e x-13=y-2-1=z-21)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas e simétricas da reta que passa por P=(1,2,2) e tem vetor diretor vec v=(3,-1,1). O conteúdo é a representação de retas em R^3. Vamos usar a fórmula geral
x = x0 + vx,t, y = y0 + vy,t, z = z0 + vz,t
para as equações paramétricas e, em seguida, eliminar o parâmetro t para obter a forma simétrica
x - x0vx = y - y0vy = z - z0vz

Passo 2

Aplicando a fórmula às coordenadas de P=(1,2,2) e aos componentes de vec v=(3,-1,1), obtemos as equações paramétricas:
x = 1 + 3t, y = 2 - t, z = 2 + t

Passo 3

Para passar à forma simétrica, isolamos o parâmetro t em cada equação:
t = x - 13, t = y - 2-1, t = z - 21

Passo 4

Como todas as expressões são iguais a t, podemos escrevê-las de forma unificada:
x - 13 = y - 2-1 = z - 21

Resposta

As equações da reta são:
r: x = 1 + 3t, y = 2 - t, z = 2 + t,
x - 13 = y - 2-1 = z - 21

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