Encontre a equação reduzida (no formato y=mx+b ) da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor dado de t.
x=cos t+sen 2t, y=sen t+cos 2t, t=0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=cos t+sin2t, y(t)=sin t+cos2t
e pede a reta tangente no ponto correspondente a t=0, no formato y=mx+b.
Para isso vamos usar que, em curvas paramétricas, a inclinação da tangente é
m = dydx = dydtdxdt
e em seguida montar a equação da reta tangente
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 2

Primeiro encontramos o ponto (x0,y0) em t=0:
x(0)=cos0+sin0 = 1+0 = 1, y(0)=sin0+cos0 = 0+1 = 1
Logo o ponto é (1,1).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas em função de t:
dxdt = -sin t + 2cos2t, dydt = cos t - 2sin2t
Avaliando em t=0:
dxdtl|0 = -0 + 2cdot1 = 2, dydtl|0 = 1 - 2cdot0 = 1
Logo a inclinação da tangente é
m = dy/dtdx/dt = 12

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação da reta tangente:
y - y0 = m,(x - x0) Longrightarrow y - 1 = tfrac12,(x - 1)
Passando para y=mx+b:
y = tfrac12 x - tfrac12 + 1 = tfrac12 x + tfrac12

Resposta

y = tfrac12 x + tfrac12

Exercícios relacionados