Resolva a equação diferencial de Hermite
y^prime prime-2 x y^prime+2 alpha y=0, -infty<x<infty
pelo método de Frobenius em torno de x=0 e selecione alpha convenientemente de modo a converter uma das séries em polinômios.

Passo 1

Então, a gente vai resolver essa equação diferencial de Hermite que é:
y'' - 2x y' + 2alpha y = 0, -infty < x < infty
O que a gente precisa aqui é usar o método de Frobenius em torno de x = 0. O método de Frobenius é uma técnica usada para encontrar séries de soluções para equações diferenciais. Além disso, vamos escolher um valor específico para alpha que faz com que uma das soluções seja um polinômio, o que simplifica bastante as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências em torno de x = 0:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Isso significa que a gente está tentando expressar a solução como uma soma infinita de termos envolvendo x elevado a diferentes potências.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de y(x):
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
Essas expressões para y' e y'' vão ser usadas na equação diferencial original.

Passo 4

Substituindo y(x), y'(x) e y''(x) na equação diferencial, temos:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 2x sumn=1^infty n an x^n-1 + 2alpha sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos simplificar cada termo:
  1. Para o termo com y'':
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2
  1. Para o termo com y', multiplicando por -2x :
-2 sumn=1^infty n an x^n
  1. Para o termo com y:
2alpha sumn=0^infty an x^n

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todos tenham a mesma potência de x. Vamos mudar a variável de índice no primeiro termo para m = n - 2:
summ=0^infty (m+2)(m+1) am+2 x^m - 2 sumn=1^infty n an x^n + 2alpha sumn=0^infty an x^n = 0
Agora, todas as somas estão em termos de x^m ou x^n, com m e n começando de 0.

Passo 6

Para que essa igualdade seja válida para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Então, igualamos o coeficiente de cada x^n a zero:
(m+2)(m+1) am+2 - 2m am + 2alpha am = 0
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes am+2:
am+2 = 2m - 2alpha(m+2)(m+1) am

Passo 7

Agora, precisamos escolher alpha de modo que a série termine, ou seja, que haja um polinômio como solução. Isso acontece quando a sequência de coeficientes an termina, ou seja, quando existe algum m = N tal que aN+2 = 0. Para isso, o numerador da nossa relação de recorrência deve ser zero para algum m:
2m - 2alpha = 0 implies alpha = m
Então, alpha deve ser um número inteiro m. Para que a série termine, alpha deve ser um número inteiro não negativo.

Passo 8

Vamos escolher alpha = n, onde n é um número inteiro não negativo. Com isso, a relação de recorrência se torna:
am+2 = 2m - 2n(m+2)(m+1) am
Quando m = n, o numerador será zero, e an+2 = 0, fazendo com que todos os coeficientes seguintes também sejam zero. Assim, a série termina e obtemos um polinômio de grau n.

Passo 9

Portanto, para que a solução seja um polinômio, devemos escolher:
alpha = n, onde n = 0, 1, 2, ldots
Isso nos dá as soluções polinomiais da equação diferencial de Hermite.

Resposta

Escolhemos alpha = n, onde n é um número inteiro não negativo, de modo que a solução da equação diferencial de Hermite seja um polinômio de grau n.

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