Resolva a equação diferencial de Hermite
pelo método de Frobenius em torno de
e selecione
convenientemente de modo a converter uma das séries em polinômios.
Passo 1
Então, a gente vai resolver essa equação diferencial de Hermite que é:
O que a gente precisa aqui é usar o método de Frobenius em torno de
. O método de Frobenius é uma técnica usada para encontrar séries de soluções para equações diferenciais. Além disso, vamos escolher um valor específico para
que faz com que uma das soluções seja um polinômio, o que simplifica bastante as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Isso significa que a gente está tentando expressar a solução como uma soma infinita de termos envolvendo
elevado a diferentes potências.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
:
Essas expressões para
e
vão ser usadas na equação diferencial original.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial, temos:
Vamos simplificar cada termo:
- Para o termo com
:
- Para o termo com
, multiplicando por :
- Para o termo com
:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todos tenham a mesma potência de
. Vamos mudar a variável de índice no primeiro termo para
:
Agora, todas as somas estão em termos de
ou
, com
e
começando de 0.
Passo 6
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Então, igualamos o coeficiente de cada
a zero:
Isso nos dá uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 7
Agora, precisamos escolher
de modo que a série termine, ou seja, que haja um polinômio como solução. Isso acontece quando a sequência de coeficientes
termina, ou seja, quando existe algum
tal que
. Para isso, o numerador da nossa relação de recorrência deve ser zero para algum
:
Então,
deve ser um número inteiro
. Para que a série termine,
deve ser um número inteiro não negativo.
Passo 8
Vamos escolher
, onde
é um número inteiro não negativo. Com isso, a relação de recorrência se torna:
Quando
, o numerador será zero, e
, fazendo com que todos os coeficientes seguintes também sejam zero. Assim, a série termina e obtemos um polinômio de grau
.
Passo 9
Portanto, para que a solução seja um polinômio, devemos escolher:
Isso nos dá as soluções polinomiais da equação diferencial de Hermite.
Resposta
Escolhemos
, onde
é um número inteiro não negativo, de modo que a solução da equação diferencial de Hermite seja um polinômio de grau
.