Encontre a equação reduzida da parábola com reta focal paralela ao eixo O x que passa pelos pontos (-2,-1),(-6,-5) e (-11,5).
(x+2)=-\frac{1}{4}(y+1)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da parábola cuja reta focal (eixo) é paralela ao eixo O x e que passa pelos pontos (-2,-1), (-6,-5) e (-11,5). Como o eixo é horizontal, a forma canônica é
(y - k)^2 \;=\; 4p\,(x - h),
em que (h,k) é o vértice e p o parâmetro focal.

Passo 2

Para cada ponto (x_i,y_i) substituímos na forma canônica e obtemos três equações:
(-1 - k)^2 \;=\; 4p\,\bigl(-2 - h\bigr),
(-5 - k)^2 \;=\; 4p\,\bigl(-6 - h\bigr),
(5 - k)^2 \;=\; 4p\,\bigl(-11 - h\bigr).

Passo 3

Subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira para eliminar h:
E2–E1:
(-5 - k)^2 - (-1 - k)^2 = 4p\bigl((-6 - h) -(-2 - h)\bigr) = -16p.
Calculando o lado esquerdo,
(-5 - k)^2 - (-1 - k)^2 = (k^2+10k+25)-(k^2+2k+1)=8k+24=8(k+3),
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8(k+3) = -16p\quad\Longrightarrow\quad p = -\tfrac{k+3}{2}.
E3–E1:
(5 - k)^2 - (-1 - k)^2 = 4p\bigl((-11 - h)-(-2 - h)\bigr) = -36p.
Calculando o lado esquerdo,
(5 - k)^2 - (-1 - k)^2 = (k^2-10k+25)-(k^2+2k+1) = -12k+24 = -12(k-2),
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-12(k-2) = -36p\quad\Longrightarrow\quad p = \tfrac{k-2}{3}.

Passo 4

Igualando as duas expressões para p:
\tfrac{k-2}{3} = -\tfrac{k+3}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2(k-2) = -3(k+3) \quad\Longrightarrow\quad 2k-4 = -3k-9 \quad\Longrightarrow\quad 5k = -5 \quad\Longrightarrow\quad k = -1.
Substituindo k=-1 em p = \tfrac{k-2}{3}
p = \tfrac{-1-2}{3} = -1.

Passo 5

Usamos a primeira equação
(-1 - k)^2 = 4p(-2 - h)
com k=-1, p=-1:
0^2 = 4(-1)\,(-2 - h) \quad\Longrightarrow\quad -4(-2 - h)=0 \quad\Longrightarrow\quad -2 - h = 0 \quad\Longrightarrow\quad h = -2.

Passo 6

Agora escrevemos a forma canônica com h=-2, k=-1, p=-1:
(y+1)^2 = 4(-1)\,(\,x+2\,) \quad\Longrightarrow\quad (y+1)^2 = -4(x+2) \quad\Longrightarrow\quad x+2 = -\tfrac{1}{4}(y+1)^2.

Resposta

x + 2 = -\frac{1}{4}(y + 1)^{2}

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