A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se:
(a) a equação de uma circunferência;
(b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
;
(c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
.
(d) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
.
(e) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
.
(a) a equação de uma circunferência;
(b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
(c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
(d) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
(e) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede valores de
que façam dela, conforme o sinal e a ordem dos denominadores: circunferência, elipse (focos em
ou em
) ou hipérbole (focos em
ou em
). Para classificar usamos:
- Se ambos denominadores são positivos, é elipse; se negativos, não há curva real.
- Se têm sinais opostos, é hipérbole.
- Se ainda for elipse e os denominadores forem iguais, é circunferência.
- Para elipse, o eixo maior (eixos dos focos) fica no eixo onde o denominador é maior. Para hipérbole, o eixo transverse (focos) fica no termo com sinal positivo.
Passo 2
Para circunferência precisamos de elipse especial com denominadores iguais e positivos:
Da igualdade vem
Em
temos
e
, OK.
Passo 3
Para elipse (não circunferência) exigimos ambos denominadores positivos:
logo
.
– Focos no eixo : o termo
deve ser o maior, isto é
– Focos no eixo
Combinando com
dá
– Focos no eixo
: o termo
é o maior, isto é
Combinado a
, fica simplesmente
Passo 4
Para hipérbole precisamos de denominadores com sinais opostos.
– Focos no eixo : termo
positivo e
negativo, isto é
– Focos no eixo
logo
– Focos no eixo
: termo
positivo e
negativo, isto é
que não tem solução simultânea.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) não existe valor de para focos no eixo
numa hipérbole.
(b)
(c)
(d)
(e) não existe valor de