(2 pontos) Seja r a reta que passa pelos pontos A=(-1,1,-5) e B=(1,-3,1). Determine as equaçōes da reta r nas formas vetorial, paramétrica e simétrica.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos
A = (-1,\,1,\,-5),\quad B = (1,\,-3,\,1)
e pede as equações da reta r que passa por esses pontos nas formas vetorial, paramétrica e simétrica. O conteúdo é geometria analítica no espaço, em que precisamos obter o vetor diretor a partir de A e B.

Passo 2

Para achar o vetor diretor \mathbf v fazemos a diferença B - A coordenada a coordenada:
\mathbf v = B - A = (1-(-1),\,-3-1,\;1-(-5)) = (2,\,-4,\;6).
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Na forma vetorial, um ponto genérico (x,y,z) da reta satisfaz
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -5\end{pmatrix} + t\, \begin{pmatrix}2\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix},
com t\in\mathbb R.

Passo 4

Para passar à forma paramétrica, separamos as componentes:
x = -1 + 2t,\quad y = 1 - 4t,\quad z = -5 + 6t,\quad t\in\mathbb R.

Passo 5

Na forma simétrica, isolamos t em cada equação paramétrica e igualamos:
\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z - (-5)}{6},
ou seja
\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z + 5}{6}.

Resposta

Forma vetorial:
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ -5\end{pmatrix} + t\, \begin{pmatrix}2\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix},\\ t\in\mathbb R.
Forma paramétrica:
x = -1 + 2t,\quad y = 1 - 4t,\quad z = -5 + 6t,\quad t\in\mathbb R.
Forma simétrica:
\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-4} = \frac{z + 5}{6}.

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