(2 pontos) Sejam \vec{u}=(m, 1,1) e \vec{v}=\overrightarrow{P Q} \operatorname{com} P=(-4,0,3) e Q=(4,-4,1). Suponha que \vec{u} \cdot \vec{v}=2. Calcule o valor de m e, em seguida, determine o cosseno do ângulo formado entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(m,1,1) e \vec{v}=\overrightarrow{PQ} com P=(-4,0,3) e Q=(4,-4,1). Sabe-se que \vec{u}\cdot\vec{v}=2. Queremos encontrar o valor de m e depois o cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.

Passo 2

Primeiro, calculamos \vec{v}=\overrightarrow{PQ}=Q-P:
\vec{v}=(4-(-4),\,-4-0,\,1-3)=(8,\,-4,\,-2).

Passo 3

Em seguida, escrevemos o produto escalar
\vec{u}\cdot\vec{v} = (m,1,1)\cdot(8,-4,-2) =8m + 1\cdot(-4) + 1\cdot(-2) =8m - 6.
Como \vec{u}\cdot\vec{v}=2, temos
8m - 6 = 2.

Passo 4

Resolvendo 8m - 6 = 2:
8m = 8 \quad\Longrightarrow\quad m = 1.

Passo 5

Agora, para o cosseno do ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v}, usamos
\cos\theta =\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|}.
Substituindo m=1, obtemos
\|\vec{u}\| =\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3}, \qquad \|\vec{v}\| =\sqrt{8^2+(-4)^2+(-2)^2} =\sqrt{64+16+4} =\sqrt{84} =2\sqrt{21}.
E \vec{u}\cdot\vec{v}=2, logo
\cos\theta =\frac{2}{\sqrt{3}\;\cdot\,2\sqrt{21}} =\frac{2}{2\sqrt{63}} =\frac{1}{\sqrt{63}} =\frac{1}{3\sqrt{7}}.

Resposta

m = 1 \displaystyle \cos\theta = \frac{1}{3\sqrt{7}}

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