Escreva as equações paramétricas dos planos a seguir:
Passa pelos pontos $P_{0}=(1,-1,0), P_{1}=(-1,3,1)$ e $P_{2}=(1,1,-4)$

O enunciado pede as equações paramétricas do plano que contém os pontos

\;P_{0}=(1,-1,0),\;P_{1}=(-1,3,1)

\;P_{2}=(1,1,-4)

.
Para isso usamos a forma vetorial do plano:

\mathbf{r}(s,t)=\mathbf{r}_0 + s\,\mathbf{v} + t\,\mathbf{w},

onde

\mathbf{r}_0

é um ponto no plano e

\mathbf{v},\mathbf{w}

são vetores não colineares no plano.

Escolhemos

\mathbf{r}_0 = P_{0} = (1,-1,0)

e calculamos dois vetores diretores do plano:

\mathbf{v} = \overrightarrow{P_{0}P_{1}} = P_{1}-P_{0} = (-1,3,1) - (1,-1,0) = (-2,4,1),

\mathbf{w} = \overrightarrow{P_{0}P_{2}} = P_{2}-P_{0} = (1,1,-4) - (1,-1,0) = (0,2,-4).

Substituímos em

\mathbf{r}(s,t) = (1,-1,0) + s\,(-2,4,1) + t\,(0,2,-4),

onde

s,t\in\mathbb{R}

Das componentes do vetor

\mathbf{r}(s,t)=(x,y,z)

obtemos as equações paramétricas:

x = 1 - 2s + 0\,t = 1 - 2s,

y = -1 + 4s + 2t,

z = 0 + 1\cdot s -4\,t = s - 4t.

As equações paramétricas do plano são

\begin{cases} x = 1 - 2s,\\\ y = -1 + 4s + 2t,\\\ z = s - 4t, \end{cases} \quad s,t\in\mathbb{R}.

Escreva as equações paramétricas dos planos a seguir: Passa pelos pontos P_{0}=(1,-1,0), P_{1}=(-1,3,1) e P_{2}=(1,1,-4)