Encontre a equação da reta normal à curva y=x^3-3 x que é paralela à reta de equação 2 x+18 y-9=0.

Passo 1

O enunciado pede a reta normal à curva ,y=x^3-3x que seja paralela à reta de equação
2x + 18y - 9 = 0
Isso envolve calcular a derivada para achar o coeficiente angular da tangente, inverter sinal e recíproco para o coeficiente da normal, e impor condição de paralelismo.

Passo 2

A derivada de y=x^3-3x é
y' = 3x^2 - 3,
logo o coeficiente angular da normal em x é
mn = -1y' = -13x^2 - 3

Passo 3

Reescrevendo a reta dada em forma y=mx+b temos
18y = -2x + 9 Longrightarrow y = -19x + 12,
logo seu coeficiente angular é -tfrac19. Para que a normal seja paralela, igualamos
-13x^2 - 3 = -19
que leva a
13x^2 - 3 = 19 Longrightarrow 3x^2 - 3 = 9 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = 2 ou x = -2

Passo 4

Para cada x encontramos y e escrevemos a reta normal y - y0 = mn(x - x0).
  1. Quando x0 = 2:
    y0 = 2^3 - 3cdot2 = 2, mn = -19,
    então
    y - 2 = -19(x - 2) Long<=ftrightarrow x + 9y - 20 = 0
  2. Quando x0 = -2:
    y0 = (-2)^3 - 3cdot(-2) = -2, mn = -19,
    então
    y + 2 = -19(x + 2) Long<=ftrightarrow x + 9y + 20 = 0

Resposta

As duas retas normais paralelas à dada são:
x + 9y - 20 = 0 e x + 9y + 20 = 0

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