Questão 15. Determine um ponto e um vetor normal ao plano pi nos seguintes casos:
pi: P=(1,0,1)+lambda(2,-1,3)+beta(1,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto e um vetor normal ao plano pi. O conteúdo que vamos usar aqui é relacionado a geometria espacial, especificamente sobre planos e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto que está no plano e calcular um vetor que seja perpendicular a esse plano.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação paramétrica do plano pi:
pi: P = (1,0,1) + lambda(2,-1,3) + beta(1,1,0)
Aqui, (1,0,1) é um ponto que está no plano, e (2,-1,3) e (1,1,0) são vetores que estão no plano.

Passo 3

O próximo passo é encontrar um vetor normal ao plano. Um vetor normal é aquele que é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano. Para encontrar esse vetor, podemos usar o produto vetorial (ou cruzado) dos dois vetores que estão no plano.
Então, vamos calcular o produto vetorial de (2,-1,3) e (1,1,0):
n = (2,-1,3) times (1,1,0)

Passo 4

Vamos calcular isso passo a passo. O produto vetorial de dois vetores (a,b,c) e (d,e,f) é dado por:
(a,b,c) times (d,e,f) = (b f - c e, c d - a f, a e - b d)
Aplicando isso aos nossos vetores:
n = (-1 cdot 0 - 3 cdot 1, 3 cdot 1 - 2 cdot 0, 2 cdot 1 - (-1) cdot 1) = (-3, 3, 3)

Resposta

Um ponto no plano pi é (1, 0, 1) e um vetor normal ao plano é (-3, 3, 3).

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