Encontre a equação da reta que passa pelo ponto dado e é perpendicular à reta dada.
Esboce o gráfico, indicando a reta original e a reta perpendicular no mesmo plano cartesiano.
Passa pelo ponto D=(1,2) e é perpendicular à reta y=2 x+3

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por D=(1,2) e é perpendicular à reta de equação y=2x+3. Vamos usar conceitos de coeficiente angular e reta perpendicular.

Passo 2

Identificamos o coeficiente angular da reta dada. Numa equação da forma y=mx+b, o coeficiente angular é m. Logo, para
y=2x+3
temos
morig=2

Passo 3

O coeficiente angular de uma reta perpendicular satisfaz
mperp=-1morig
Portanto
mperp=-12

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação para escrever a reta que passa por D=(1,2) com coeficiente mperp=-tfrac12:
y-2 = -tfrac12,(x-1)
Expandindo e isolando y, obtemos
y-2 = -tfrac12 x + tfrac12 Longrightarrow y = -tfrac12 x + tfrac52

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. A reta original y=2x+3 passa, por exemplo, pelos pontos (0,3) e (1,5).
  2. A reta perpendicular y=-tfrac12x+tfrac52 passa por D=(1,2) e, usando o coeficiente -tfrac12, também por (3,1).
    No plano cartesiano, desenhe ambas as retas cruzando-se em ângulo reto.

Resposta

A equação da reta procurada é
y = -tfrac12 x + tfrac52
No mesmo gráfico, a reta y=2x+3 e a reta y=-tfrac12x+tfrac52 são perpendiculares e se interceptam em D=(1,2).

Exercícios relacionados