Encontre a equação da reta que tangência a circunferência de centro (2,3) de raio 4 no ponto (3,3+\sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência de centro C=(2,3) e raio 4, e pede a reta tangente no ponto
P=\bigl(3,\;3+\sqrt{3}\bigr).
Para achar essa reta, lembramos que a reta tangente a uma circunferência em P é perpendicular ao raio CP.

Passo 2

Calculamos o coeficiente angular do raio CP. Como
m_{CP}=\frac{y_P - y_C}{x_P - x_C} =\frac{(3+\sqrt{3})-3}{3-2} =\sqrt{3},
o raio tem inclinação \sqrt{3}.

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente é o negativo do recíproco de m_{CP}, ou seja,
m_t = -\frac{1}{m_{CP}} =-\frac{1}{\sqrt{3}} =-\frac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Usando a forma ponto-declive com m_t e o ponto P, escrevemos
y - \bigl(3+\sqrt{3}\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\,(x-3).
Para colocar em forma explícita, note que \tfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, então
y = -\frac{1}{\sqrt{3}}\,x + \frac{3}{\sqrt{3}} + 3 + \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\,x + 3 + 2\sqrt{3}.

Resposta

A equação da reta tangente é
\boxed{y - \bigl(3+\sqrt{3}\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{3}}\,(x-3)}
ou, equivalentemente,
\boxed{y = -\frac{\sqrt{3}}{3}\,x + 3 + 2\sqrt{3}}.

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