1. Sabe-se que r é uma reta tangente ao gráfico de f(x)=x^{3}+3 x e paralela à reta y=6 x-1. Determine a equação de r.
  2. Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2 y+x=3 e tangente ao gráfico de f(x)=x^{2}-3 x.

Passo 1

O enunciado traz dois problemas de reta tangente a gráficos de funções usando derivada e equações de reta.
  • No item 14, f(x)=x^3+3x e buscamos reta(s) paralela(s) a y=6x-1, ou seja com coeficiente angular m=6.
  • No item 15, f(x)=x^2-3x e queremos reta perpendicular a 2y+x=3. Escrita em forma y=-(1/2)x+3/2, essa reta tem coeficiente angular -\tfrac12, então a perpendicular terá m=2.
    Para ambos usaremos f'(x) para igualar ao coeficiente angular desejado e a fórmula da reta tangente
y - f(a) = m\bigl(x - a\bigr).

Passo 2

No item 14, calculemos a derivada
f'(x)=3x^2+3
e imponhamos f'(x)=6:
3x^2+3=6\quad\Longrightarrow\quad x^2=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.

Passo 3

Para cada solução:
  • Em x=1, temos f(1)=1^3+3\cdot1=4. A reta tangente de coeficiente 6 é
y-4=6(x-1)\quad\Longrightarrow\quad y=6x-2.
  • Em x=-1, temos f(-1)=(-1)^3+3(-1)=-4. A reta é
y+4=6(x+1)\quad\Longrightarrow\quad y=6x+2.

Passo 4

No item 15, como a reta dada tem coeficiente -\tfrac12, a perpendicular tem m=2. Impondo
f'(x)=2x-3=2\quad\Longrightarrow\quad 2x=5\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac52.

Passo 5

Em x=\tfrac52,
f\bigl(\tfrac52\bigr)=\bigl(\tfrac52\bigr)^2-3\cdot\tfrac52=\tfrac{25}{4}-\tfrac{15}{2}=\,-\tfrac{5}{4}.
Logo a reta tangente de coeficiente 2 é
y+\tfrac{5}{4}=2\bigl(x-\tfrac{5}{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y=2x-\tfrac{25}{4}.

Resposta

  1. As retas tangentes paralelas a y=6x-1 são y=6x-2 e y=6x+2.
  2. A reta perpendicular a 2y+x=3 e tangente a f(x)=x^2-3x é y=2x-\tfrac{25}{4}.

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