1. Sabe-se que r é uma reta que passa pelo ponto (0,0) e que é tangente ao gráfico de
f(x)=\frac{x-1}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{x-1}{e^{x}}=(x-1)e^{-x}
e pede a reta r que passa por (0,0) e é tangente ao gráfico de f. Para resolver, vamos usar derivadas para achar a inclinação da tangente em um ponto a e impor que essa reta passe pela origem.

Passo 2

Calculamos a derivada de f por regra do produto em f(x)=(x-1)e^{-x}:
f'(x)=1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot(-e^{-x}) =e^{-x}-(x-1)e^{-x}=(2-x)e^{-x}.

Passo 3

A reta tangente a f em x=a é
y - f(a)=f'(a)\bigl(x-a\bigr).
Para que ela passe por (0,0), substituímos x=0, y=0 e obtemos
0 - f(a)=f'(a)\,(0 - a) \quad\Longrightarrow\quad f(a)=a\,f'(a).

Passo 4

Substituindo f(a)=(a-1)e^{-a} e f'(a)=(2-a)e^{-a} na condição f(a)=a\,f'(a) e cancelando e^{-a}\neq0, vem
a-1 = a(2-a) \quad\Longrightarrow\quad a^2 - a -1 = 0.
As raízes são
a = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Para cada ponto de tangência a, a inclinação da reta é
m = f'(a) = (2-a)e^{-a}.
Como a reta passa pela origem, sua equação é y=mx. Substituindo as duas soluções de a e simplificando 2-\tfrac{1\pm\sqrt5}{2}=\tfrac{3\mp\sqrt5}{2}, obtemos as duas retas:

Passo 6

\text{Para }a=\frac{1+\sqrt5}{2}:\quad y = \frac{3-\sqrt5}{2}\,e^{-\frac{1+\sqrt5}{2}}\;x,
\text{Para }a=\frac{1-\sqrt5}{2}:\quad y = \frac{3+\sqrt5}{2}\,e^{-\frac{1-\sqrt5}{2}}\;x.

Resposta

As retas tangentes a f que passam por (0,0) são
y = \frac{3-\sqrt{5}}{2}\,e^{-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\,x \quad\text{e}\quad y = \frac{3+\sqrt{5}}{2}\,e^{-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\,x.

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