Encontre a equação da reta tangente a cada curva dada no ponto indicado:
H(x)=x^{2}+12 / x, P(3,13)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
H(x)=x^{2}+\frac{12}{x}
e pede a equação da reta tangente no ponto P(3,13). O conteúdo usado será derivação para obter o coeficiente angular e, em seguida, a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de H(x) para achar o coeficiente angular da tangente. Como
H(x)=x^{2}+12\,x^{-1},
temos
H'(x)=2x-12\,x^{-2}.

Passo 3

Avalia-mos a derivada em x=3 para obter o coeficiente angular m:
m=H'(3)=2\cdot3-\frac{12}{3^{2}}=6-\frac{12}{9}=6-\frac{4}{3}=\frac{14}{3}.

Passo 4

Usamos a fórmula da reta tangente em (x_{0},y_{0})=(3,13):
y-13=\frac{14}{3}\bigl(x-3\bigr).
Para escrever na forma y=mx+b, desenvolvemos:
y= \frac{14}{3}x - \frac{14}{3}\cdot3 +13 = \frac{14}{3}x -14 +13 = \frac{14}{3}x -1.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{14}{3}x - 1.

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