Resolva as integrais abaixo
(4 pontos) integral 1x^2(x^2+4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1x^2,(x^2+4),dx
O conteúdo necessário é a decomposição em frações parciais de funções racionais e o uso das primitivas conhecidas de x^-2 e de 1x^2+a^2.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
1x^2(x^2+4) = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2+4
Multiplicamos ambos os lados por x^2(x^2+4) para obter:
1 = A,x,(x^2+4) + B,(x^2+4) + (Cx+D),x^2

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de x:
1 = (A+C),x^3 + (B+D),x^2 + 4A,x + 4B
Como o lado esquerdo é 1 (isto é, nenhum termo em x), igualamos coeficientes:
A + C = 0, B + D = 0, 4A = 0, 4B = 1

Passo 4

Das equações acima vem
A = 0, B = tfrac14, C = -A = 0, D = -B = -tfrac14
Logo a decomposição simplifica-se para
1x^2(x^2+4) = 14,1x^2 - 14,1x^2+4

Passo 5

Reescrevemos a integral como soma de duas integrais mais simples:
integral 1x^2(x^2+4),dx = 14integral x^-2,dx - 14integral 1x^2+4,dx

Passo 6

Usamos as primitivas conhecidas:
integral x^-2,dx = -1x, integral 1x^2+4,dx = 12arctan!l(tfracx2r)
Substituindo,
14integral x^-2,dx = -14x, -14integral 1x^2+4,dx = -14,12arctan!l(tfracx2r) = -18arctan!l(tfracx2r)

Passo 7

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva desejada:
-14x -18arctan!l(tfracx2r) + C

Resposta

integral 1x^2(x^2+4),dx = -14x -18arctan!l(tfracx2r) + C

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