\int_{C} x y e^{y z} d y, C: x=t, y=t^{2}, z=t^{3}, 0 \leq t \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x\,y\,e^{y z}\,d y
ao longo da curva C dada pela parametrização
x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=t^{3},\quad 0\le t\le1.
O conteúdo usado aqui é integral de linha do tipo \int_C P\,dy. Vamos parametrizar y em função de t, obter dy e transformar a integral em uma integral em t.

Passo 2

Da parametrização temos
y(t)=t^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dt}=2t \quad\Longrightarrow\quad dy=2t\,dt.
Além disso, no integrando substituímos x=x(t)=t, y=y(t)=t^{2} e z=z(t)=t^{3}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{C} x\,y\,e^{y z}\,dy =\int_{0}^{1}\Bigl(t\cdot t^{2}\cdot e^{\,t^{2}\cdot t^{3}}\Bigr)\,(2t\,dt) =\int_{0}^{1}2\,t^{4}\,e^{t^{5}}\,dt.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}2\,t^{4}\,e^{t^{5}}\,dt, faça a substituição
u=t^{5} \quad\Longrightarrow\quad du=5\,t^{4}\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^{4}\,dt=\frac{du}{5}.
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\int_{0}^{1}2\,t^{4}\,e^{t^{5}}\,dt =2\int_{u(0)=0}^{u(1)=1}e^{u}\,\frac{du}{5} =\frac{2}{5}\int_{0}^{1}e^{u}\,du =\frac{2}{5}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =\frac{2}{5}(e-1).

Resposta

\frac{2}{5}\,(e-1).

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