Esboce a curva dada por equaçōes paramétricas e elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
x=cos ^2(t), y=1-sen(t), t in[0, pi / 2]

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x = cos^2(t), y = 1 - sin(t), tin[0,tfracpi2]
e pede (a) eliminar o parâmetro para achar uma equação cartesiana e (b) esboçar a curva.

Passo 2

Como sin(t)=1-y e cos^2(t)=x, aplicamos
sin^2(t)+cos^2(t)=1
para obter
x=cos^2(t)=1-sin^2(t)=1-(1-y)^2

Passo 3

Expandindo ;1-(1-y)^2:
x=1-l(1-2y+y^2r)=2y-y^2
Alternativamente, isolando y em x=1-(1-y)^2 e lembrando que 0<=sin(t)<=1
y=1pmraiz1-x,
mas como y=1-sin(t)<=1 escolhemos o sinal “–” e ficamos com
y=1-raiz1-x, 0<= x<=1

Passo 4

Para esboçar, note os pontos-chave:
t=0; Rightarrow;(x,y)=\left(\cos^2(0),,1-\sin(0)\right)=\left(1,1\right)
t=tfracpi2; Rightarrow;(x,y)=\left(0,0\right)
– Por exemplo, t=tfracpi6; Rightarrow;(x,y)=\left(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{2}\right)).
A curva é a porção da parábola x=2y-y^2 no primeiro quadrante, indo de (1,1) até (0,0). Pode-se desenhar uma seta do ponto (1,1) apontando para (0,0) indicando o sentido de t crescente.

Resposta

Uma forma conveniente da equação cartesiana é
x=1-(1-y)^2
ou, de modo equivalente,
y=1-raiz1-x, 0<= x<=1

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