Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto do parâmetro indicado.
x(t)=1 / t, y(t)=t^2+1, t=1;

Passo 1

O enunciado dá uma curva paramétrica definida por
x(t) = tfrac1t e y(t) = t^2 + 1,
e pede a equação da reta tangente no ponto correspondente a t = 1.
O conteúdo é derivada de curvas paramétricas e ponto de tangente, onde a inclinação da reta é
m = dy/dtdx/dt.

Passo 2

Vamos encontrar as coordenadas do ponto de tangência em t=1.
Temos
x(1) = 11 = 1, y(1) = 1^2 + 1 = 2
Logo, o ponto é P(1,2).

Passo 3

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
dxdt = -1t^2, dydt = 2t

Passo 4

Avaliando em t=1:
dxdt|t=1 = -1, dydt|t=1 = 2
Assim, a inclinação da tangente é
m = dy/dtdx/dt = 2-1 = -2

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0 = m,(x - x0),
substituindo P(1,2) e m=-2:
y - 2 = -2,(x - 1)
Simplificando:
y - 2 = -2x + 2 Longrightarrow y = -2x + 4

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -2x + 4

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