Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto do parâmetro indicado.
x(t)=t^2, y(t)=(2-t)^2, t=pi2;

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva paramétrica
x(t)=t^2, y(t)=(2-t)^2
no ponto correspondente a t=pi2. O conteúdo é derivadas de curvas paramétricas, e vamos usar a fórmula
dydx=dydtdxdt
para obter o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em função de t:
dxdt=2t, dydt=2(2-t)cdot(-1)=-2(2-t)=-4+2t

Passo 3

Avaliamo-las em t0=pi2:
dxdt|t0=2cdotpi2=pi, dydt|t0=-4+2cdotpi2=-4+pi=pi-4
Logo o coeficiente angular da tangente é
m=dy/dtdx/dt|t0 =pi-4pi

Passo 4

Agora determinamos as coordenadas do ponto de tangência:
x0=l(pi2r)^2=pi^24, y0=l(2-pi2r)^2 =l(4-pi2r)^2 =(4-pi)^24

Passo 5

A equação da reta tangente em forma ponto– inclinação é
y - y0 = ml(x - x0r)
Substituindo m, x0 e y0, obtemos
y - (4-pi)^24 = pi-4pi l(x - pi^24r)

Resposta

y - (4-pi)^24 = pi-4pil(x - pi^24r)

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