Exercício 6. Encontre os pontos
em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
;
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
Precisamos encontrar os pontos em que a reta tangente à curva é horizontal (inclinação zero) e vertical (inclinação infinita). Para isso, vamos calcular
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas
e
.
Passo 3
Para ter tangente horizontal, precisamos de
com
. Como
nunca zera, não existem pontos de tangente horizontal.
Passo 4
Para ter tangente vertical, precisamos de
com
. Da condição
vem
, ou seja
e
, e em ambos temos
.
Passo 5
Calculamos os pontos correspondentes:
Para
:
Para
:
Logo, as tangentes verticais ocorrem nos pontos
e
.
Passo 6
Para esboçar a curva, observe que
faz
variar linearmente e
é um polinômio cúbico ímpar, gerando um “S” deitado. Pontos-chave para marcar no plano:
,
(para
) e
.
Outros pontos ajudam a definir o formato, por exemplo (para
) e
(para
). Ligue-os com uma curva suave, lembrando que em
e
a tangente é vertical.
Outros pontos ajudam a definir o formato, por exemplo
Resposta
Não há pontos de tangente horizontal.
As tangentes verticais ocorrem em e
.
A curva tem formato de “S” deitado, conforme esboçado.
As tangentes verticais ocorrem em
A curva tem formato de “S” deitado, conforme esboçado.