Exercício 6. Encontre os pontos (x, y) em que a curva parametrizada possui tangente horizontal e tangente vertical. Esboce a curva.
x(t)=3 t-t^3, y(t)=t+1;

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada
x(t)=3t - t^3, y(t)=t + 1
Precisamos encontrar os pontos em que a reta tangente à curva é horizontal (inclinação zero) e vertical (inclinação infinita). Para isso, vamos calcular dxdt e dydt.

Passo 2

Calculamos as derivadas
dxdt=3 - 3t^2=3(1 - t^2)
e
dydt=1
.

Passo 3

Para ter tangente horizontal, precisamos de dydt=0 com dxdtneq0. Como dydt=1 nunca zera, não existem pontos de tangente horizontal.

Passo 4

Para ter tangente vertical, precisamos de dxdt=0 com dydtneq0. Da condição
dxdt=3(1 - t^2)=0
vem t^2=1, ou seja t=1 e t=-1, e em ambos temos dydt=1neq0.

Passo 5

Calculamos os pontos correspondentes:
Para t=1:
x(1)=3cdot1-1^3=2, y(1)=1+1=2
Para t=-1:
x(-1)=3cdot(-1)-(-1)^3=-2, y(-1)=-1+1=0
Logo, as tangentes verticais ocorrem nos pontos (-2,0) e (2,2).

Passo 6

Para esboçar a curva, observe que y(t)=t+1 faz y variar linearmente e x(t)=3t-t^3 é um polinômio cúbico ímpar, gerando um “S” deitado. Pontos-chave para marcar no plano:
(-2,0), (0,1) (para t=0) e (2,2).
Outros pontos ajudam a definir o formato, por exemplo (2,-1) (para t=-2) e (-2,3) (para t=2). Ligue-os com uma curva suave, lembrando que em (-2,0) e (2,2) a tangente é vertical.

Resposta

Não há pontos de tangente horizontal.
As tangentes verticais ocorrem em (-2,0) e (2,2).
A curva tem formato de “S” deitado, conforme esboçado.

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