Questão 4: Encontre a solução geral da equação abaixo:
y^prime prime-2 y^prime+10 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + 10y = 0
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente às equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação do tipo
y'' + a y' + b y = 0
é
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, temos
y'' - 2y' + 10y = 0,
então a = -2 e b = 10. Substituindo na fórmula, a equação característica fica:
r^2 - 2r + 10 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática
r^2 - 2r + 10 = 0
para encontrar os valores de r. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -2 e c = 10. Calculando o discriminante ( De<a):
De<a = (-2)^2 - 4 times 1 times 10 = 4 - 40 = -36
Como De<a < 0, as raízes serão complexas.

Passo 4

Com o discriminante negativo, sabemos que as raízes são complexas e podem ser escritas na forma:
r = alpha pm beta i,
onde alpha = -b2a e beta = raiz-De<a2a.
Calculando:
alpha = 22 = 1,
beta = raiz362 = 62 = 3
Então, as raízes são:
r = 1 pm 3i

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma r = alpha pm beta i, a solução geral da equação diferencial é dada por:
y(x) = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) ),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.
Aplicando os valores que encontramos:
alpha = 1 e beta = 3,
a solução geral fica:
y(x) = e^x ( C1 cos(3x) + C2 sin(3x) )

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = e^x ( C1 cos(3x) + C2 sin(3x) ),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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