Questão 4: Encontre a solução geral da equação abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
Esse tipo de equação pertence à matéria de Equações Diferenciais, especificamente às equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método dos coeficientes constantes, que envolve encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial dada. A equação característica para uma equação do tipo
é
No nosso caso, temos
então
e
. Substituindo na fórmula, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como
, as raízes serão complexas.
Passo 4
Com o discriminante negativo, sabemos que as raízes são complexas e podem ser escritas na forma:
onde
e
.
Calculando:
Então, as raízes são:
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Aplicando os valores que encontramos:
a solução geral fica:
Resposta
A solução geral da equação é
onde
e
são constantes arbitrárias.