Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log n)^{k}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{k}},
variando o parâmetro k. Vamos usar o teste de condensação de Cauchy, típico para séries de termos decrescentes positivos, para decidir convergência ou divergência.
Passo 2
Verificamos que, para n\ge 3, a sequência
a_n = \frac{1}{(\log n)^{k}}
é positiva e decrescente (pois \log n cresce e k é fixo). Logo podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy, que diz que