Verifique, dentre as séries seguintes, qual delas converge, qual delas diverge:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\log n)^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{k}},
variando o parâmetro k. Vamos usar o teste de condensação de Cauchy, típico para séries de termos decrescentes positivos, para decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Verificamos que, para n\ge 3, a sequência
a_n = \frac{1}{(\log n)^{k}}
é positiva e decrescente (pois \log n cresce e k é fixo). Logo podemos aplicar o teste de condensação de Cauchy, que diz que
\sum_{n=2}^{\infty}a_n \quad\text{e}\quad \sum_{m=1}^{\infty}2^m a_{2^m}
convergem ou divergem juntos.

Passo 3

Escrevemos a série condensada:
\sum_{m=1}^{\infty}2^m\,a_{2^m} =\sum_{m=1}^{\infty}2^m\;\frac{1}{\bigl(\log(2^m)\bigr)^k}.
Como \log(2^m)=m\log2, temos
2^m\,a_{2^m} =\frac{2^m}{(m\log2)^k} =\frac{1}{(\log2)^k}\;\frac{2^m}{m^k}.

Passo 4

Para decidir a série
\sum_{m=1}^{\infty}\frac{2^m}{m^k},
usamos o teste da razão. Seja
b_m=\frac{2^m}{m^k}.
Então
\frac{b_{m+1}}{b_m} =\frac{2^{m+1}/(m+1)^k}{2^m/m^k} =2\;\Bigl(\frac{m}{m+1}\Bigr)^{\!k} \;\xrightarrow[m\to\infty]{}\;2.
Como o limite da razão é 2>1, a série \sum b_m diverge. Consequentemente a série condensada diverge.

Passo 5

Pelo teste de condensação de Cauchy, se a série condensada diverge então a série original
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{k}}
também diverge, independentemente do valor de k.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(\log n)^{k}} diverge para todo k.

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