Encontre a equação da reta tangente à curva y=x \sqrt{5-x} no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = x\sqrt{5 - x}
no ponto (1,2). Para isso vamos precisar calcular a derivada y' (que nos dá a inclinação da reta) e depois usar a fórmula da reta tangente em ponto conhecido.

Passo 2

Para achar y' aplicamos a regra do produto em
y = x \cdot (5 - x)^{1/2}.
Seja u(x)=x e v(x)=(5-x)^{1/2}. Então
y' = u'\,v + u\,v'.
Aqui u'=1 e, pela regra da cadeia,
v'(x) = \frac12\,(5 - x)^{-1/2}\cdot(-1) = -\frac{1}{2\sqrt{5 - x}}.
Logo
y' = 1\cdot\sqrt{5 - x} + x\cdot\Bigl(-\frac{1}{2\sqrt{5 - x}}\Bigr) = \sqrt{5 - x} - \frac{x}{2\sqrt{5 - x}}.

Passo 3

Agora calculamos a inclinação da tangente em x=1:
y'(1) = \sqrt{5 - 1} - \frac{1}{2\sqrt{5 - 1}} = 2 - \frac{1}{2\cdot2} = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}.

Passo 4

Com o coeficiente angular m = \tfrac{7}{4} e o ponto (1,2), a forma ponto\mbox{-}inclinação da reta é
y - 2 = \frac{7}{4}\,(x - 1).
Isolando y, obtemos
y = \frac{7}{4}x - \frac{7}{4} + 2 = \frac{7}{4}x + \frac{1}{4}.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = \frac{7}{4}x + \frac{1}{4}.

Exercícios relacionados