Encontre a linearização de f(x)=\sqrt[3]{1+3 x} em a=0. Determine a aproximação linear correspondente e use-a para dar um valor aproximado de \sqrt[3]{1,03}.

Passo 1

O enunciado pede a linearização de
f(x)=\sqrt[3]{1+3x}
no ponto a=0, ou seja, encontrar a reta tangente a f em x=0 e usar essa reta para aproximar \sqrt[3]{1,03}. O conteúdo é o de linearização via derivada (aproximação por reta tangente).

Passo 2

Primeiro calculamos f(a) e f'(a). Usamos a regra da cadeia para
f(x)=(1+3x)^{1/3}.
A derivada é
f'(x)=\frac{1}{3}(1+3x)^{-2/3}\cdot3=(1+3x)^{-2/3}.
Em x=0 temos
f(0)=(1+0)^{1/3}=1, \quad f'(0)=(1+0)^{-2/3}=1.

Passo 3

A linearização (reta tangente) em a=0 é
L(x)=f(0)+f'(0)\,(x-0)=1+1\cdot x=1+x.

Passo 4

Para aproximar \sqrt[3]{1,03} escrevemos 1,03=1+3x, logo
x=\frac{1,03-1}{3}=0,01.
Então
\sqrt[3]{1,03}=f(0,01)\approx L(0,01)=1+0,01=1,01.

Resposta

\sqrt[3]{1,03}\approx1,01

Exercícios relacionados