Grave um video (pode ser apenas da tela do computador) resolvendo os seguintes problemas e poste-o como resposta a essa atividade no classroom.
Considere
Com difusividade térmica , temperatura sempre igual a zero nas extremidades e distribuição de temperatura inicial:
a) Apresente uma solução .
d) O que ocorre com a temperatura da barra após muito tempo?

Passo 1

O enunciado tem a equação do calor numa barra de comprimento L=4 com c=1/2, condição de contorno u(0,t)=u(4,t)=0 e condição inicial f(x)=0 em (0,1)∪(3,4) e f(x)=k em (1,3). Vamos usar separação de variáveis e séries de seno para montar a solução.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=∑_{n=1}^∞ B_n·sin(nπx/4)·e^{-λ_n t}. Pelas condições de contorno, escolhemos autovalores λ_n=(nπc/4)2=(nπ/8)2 e modos φ_n(x)=sin(nπx/4).

Passo 3

Para achar B_n usamos projeção de f(x) sobre cada seno: B_n=(2/4)∫_0^4 f(x) sin(nπx/4) dx. Como f(x)=k só de x=1 a x=3: B_n=(k/2)∫_1^3 sin(nπx/4) dx.

Passo 4

Calculamos a integral: ∫_1^3 sin(nπx/4) dx = (-4/(nπ))[cos(3nπ/4)−cos(nπ/4)]. Simplificando com fórmula trigonométrica resulta B_n=(4k/(nπ)) sin(nπ/4)·sin(nπ/2).

Passo 5

Logo a solução é u(x,t)=sumn=1^infty4knpi,sinl(tfracnpi4r)sinl(tfracnpi2r),sinl(tfracnpi x4r)e^-tfracn^2pi^264t

Passo 6

Para visualizar, podemos implementar em Python (usando numpy e matplotlib) a soma parcial (por exemplo n=1…50) e plotar u(x,t) para vários t.

Passo 7

O tempo T necessário para que toda a barra fique abaixo de 50°C satisfaz max_x u(x,T)<50. Aproximando pelo primeiro modo (n=1): amplitude B_1=(2√2k)/π, então exigimos B_1 e{-π2T/64}<50. Logo T>\frac{64}{π^2}\ln\Bigl(\frac{2√2k}{50π}\Bigr).

Passo 8

Após muito tempo t→∞ todos os termos e{-n2π^2t/64}→0, logo u(x,t)→0 em toda a barra.

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4k}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{4}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{4}\bigr)e{-\tfrac{n2\pi^2}{64}t},
T>\frac{64}{\pi^2}\ln\Bigl(\frac{2\sqrt{2},k}{50\pi}\Bigr),
\lim_{t\to\infty}u(x,t)=0.

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