Exercício 2.6.5 Determine os intervalos onde cada função composta f og seja contínua.
f(x)=raizx e g(x)=16-x^2;

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função composta ,fcirc g (e também ,gcirc f, se desejarmos) é contínua. Aqui
  • f(x)=raizx tem domínio xmid x>=0 e é contínua nesse domínio.
  • g(x)=16 - x^2 tem domínio R e é contínua em R.
    Para cada composição precisamos achar seu domínio e, em seguida, usar que a composição de funções contínuas é contínua no domínio obtido.

Passo 2

Analisando fcirc g:
,fcirc g está definida se e somente se g(x) estiver no domínio de f, ou seja
g(x)=16 - x^2 >=0
Resolvendo
16 - x^2 >= 0 Long<=ftrightarrow x^2 <= 16 Long<=ftrightarrow -4 <= x <= 4
Portanto o domínio de fcirc g é o intervalo [-4,4].

Passo 3

Como g é contínua em R e f é contínua em [0,infty), a composição fcirc g será contínua em todo o seu domínio [-4,4].

Passo 4

Analisando gcirc f:
,gcirc f está definida se e somente se f(x) estiver no domínio de g. Mas g é definido para todo real, então basta que x esteja no domínio de f, ou seja x>=0.
Assim o domínio de gcirc f é [0,infty).

Passo 5

Como f é contínua em [0,infty) e g é contínua em R, a composição gcirc f é contínua em [0,infty).

Resposta

fcirc g é contínua em [-4,4]. \r
gcirc f é contínua em [0,infty).

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