Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2 & \text { se } x \leq 1 \\\\ -3 x+6, & \text { se } x>1\end{array}, c=1 ;\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x^{2}+2, &\text{se }x\le1,\\\\ -3x+6, &\text{se }x>1, \end{cases}
e pede para mostrar que f não é derivável em c=1. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e de derivadas laterais: uma função é derivável em c se e somente se existir a derivada lateral pela esquerda e a derivada lateral pela direita em c e elas coincidirem.

Passo 2

Primeiro, conferimos a continuidade em x=1, pois derivabilidade implica continuidade. Calculamos
f(1^-)=\lim_{x\to1^-}(x^{2}+2)=1^{2}+2=3,
f(1^+)=\lim_{x\to1^+}(-3x+6)=-3\cdot1+6=3,
e o valor f(1) é dado pela regra de x\le1, logo
f(1)=1^{2}+2=3.
Portanto f(1^-)=f(1)=f(1^+), ou seja, f é contínua em x=1.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas laterais em x=1. Pela definição, para h<0 usamos o ramo x^{2}+2:
f'_-(1)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{(1+h)^{2}+2-(1^{2}+2)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{2h+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0^-}(2+h)=2.
Para h>0 usamos o ramo -3x+6:
f'_+(1)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{-3(1+h)+6-(3)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{-3-3h+6-3}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{-3h}{h}=-3.

Passo 4

Como
f'_-(1)=2\quad\text{e}\quad f'_+(1)=-3,
as derivadas laterais não coincidem. Logo, f não é derivável em x=1.

Resposta

A função não é derivável em c=1 porque
f'_-(1)=2\neq -3=f'_+(1).

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