Verifique que as seguintes funções NÃO são deriváveis em c. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2 & \text { se } x \leq 1 \\\\ -3 x+6, & \text { se } x>1\end{array}, c=1 ;\right.
e pede para mostrar que f não é derivável em c=1. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e de derivadas laterais: uma função é derivável em c se e somente se existir a derivada lateral pela esquerda e a derivada lateral pela direita em c e elas coincidirem.
Passo 2
Primeiro, conferimos a continuidade em x=1, pois derivabilidade implica continuidade. Calculamos
f(1^-)=\lim_{x\to1^-}(x^{2}+2)=1^{2}+2=3,
f(1^+)=\lim_{x\to1^+}(-3x+6)=-3\cdot1+6=3,
e o valor f(1) é dado pela regra de x\le1, logo
f(1)=1^{2}+2=3.
Portanto f(1^-)=f(1)=f(1^+), ou seja, f é contínua em x=1.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas laterais em x=1. Pela definição, para h<0 usamos o ramo x^{2}+2: