Encontre \frac{d y}{d x} por derivação implícita:
4 \cos (\sin y)=1

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
4\cos\bigl(\sin y\bigr)=1
e pede \frac{dy}{dx}. Para isso vamos usar derivação implícita e a regra da cadeia.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
à esquerda temos 4\cos(\sin y), então
\frac{d}{dx}\bigl[4\cos(\sin y)\bigr] =4\cdot\frac{d}{dx}\bigl[\cos(\sin y)\bigr] =4\bigl(-\sin(\sin y)\bigr)\cdot\frac{d}{dx}[\sin y].
E como \frac{d}{dx}[\sin y]=\cos y\,\frac{dy}{dx}, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl[4\cos(\sin y)\bigr] =-4\,\sin(\sin y)\,\cos y\,\frac{dy}{dx}.
À direita, \frac{d}{dx}[1]=0.

Passo 3

Igualando as derivadas:
-4\,\sin(\sin y)\,\cos y\,\frac{dy}{dx}=0.

Passo 4

Isolando \frac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} =\frac{0}{-4\,\sin(\sin y)\,\cos y} =0.

Resposta

\frac{dy}{dx}=0.

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