Seja a função
. A função
é contínua em
? E derivável em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida de duas formas diferentes, dependendo de
. A função é:
Queremos descobrir duas coisas:
- Se essa função é contínua em
. - Se ela é derivável em
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em
. Uma função é contínua em um ponto se:
- O limite quando
se aproxima desse ponto existe. - O valor da função nesse ponto é igual a esse limite.
Então, vamos calcular os limites laterais e o valor da função em
.
Passo 3
Vamos encontrar o limite à esquerda de
quando
se aproxima de 2:
Passo 4
Agora, o limite à direita de
quando
se aproxima de 2:
Passo 5
O valor da função em
é dado pela segunda parte da função (já que
):
Passo 6
Como os limites à esquerda e à direita são iguais e também iguais ao valor da função em
, podemos concluir que a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar a derivabilidade da função em
. Para isso, precisamos que os limites das derivadas à esquerda e à direita sejam iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função.
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos verificar os limites das derivadas à esquerda e à direita em
:
Passo 9
Como os limites das derivadas à esquerda (3) e à direita (-1) não são iguais, a derivada da função em
não existe. Portanto, a função não é derivável em
.
Resposta
A função
é contínua em
, mas não é derivável nesse ponto.