Seja a função { 3x - 1, se x < 2; 7 - x, se x ≥ 2 }. A função f é contínua em x = 2 ? E derivável em x = 2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida de duas formas diferentes, dependendo de . A função é:
Queremos descobrir duas coisas:
  1. Se essa função é contínua em .
  2. Se ela é derivável em .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em . Uma função é contínua em um ponto se:
  • O limite quando se aproxima desse ponto existe.
  • O valor da função nesse ponto é igual a esse limite.
Então, vamos calcular os limites laterais e o valor da função em .

Passo 3

Vamos encontrar o limite à esquerda de quando se aproxima de 2:

Passo 4

Agora, o limite à direita de quando se aproxima de 2:

Passo 5

O valor da função em é dado pela segunda parte da função (já que ):

Passo 6

Como os limites à esquerda e à direita são iguais e também iguais ao valor da função em , podemos concluir que a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar a derivabilidade da função em . Para isso, precisamos que os limites das derivadas à esquerda e à direita sejam iguais.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de cada parte da função.
Para :
Para :

Passo 8

Agora, vamos verificar os limites das derivadas à esquerda e à direita em :

Passo 9

Como os limites das derivadas à esquerda (3) e à direita (-1) não são iguais, a derivada da função em não existe. Portanto, a função não é derivável em .

Resposta

A função é contínua em , mas não é derivável nesse ponto.

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