Seja a função
. A função
é contínua em
? E derivável em
?
Passo 1
Beleza, vamos ver aqui o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E queremos descobrir se essa função é contínua e derivável em
. Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Em outras palavras:
Vamos aplicar isso para
.
Passo 3
Calculando
:
Como
, usamos a primeira parte da função:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Passo 5
E o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Passo 6
Para a função ser contínua em
, os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais e também iguais ao valor da função em 0. Aqui, vimos que:
Como os limites laterais não são iguais (
), a função não é contínua em
.
Passo 7
Agora, sobre a derivabilidade. Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Já vimos que a função não é contínua em
, então ela automaticamente não é derivável ali.
Resposta
A função
não é contínua em
e, consequentemente, não é derivável nesse ponto.