Seja a função {x - 1, se x ≥ 0; x, se x < 0}. A função f é contínua em x = 0 ? E derivável em x = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos ver aqui o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função definida por partes:
E queremos descobrir se essa função é contínua e derivável em . Para isso, vamos usar os conceitos de continuidade e derivabilidade em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Em outras palavras:
Vamos aplicar isso para .

Passo 3

Calculando :
Como , usamos a primeira parte da função:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):

Passo 5

E o limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):

Passo 6

Para a função ser contínua em , os limites pela direita e pela esquerda devem ser iguais e também iguais ao valor da função em 0. Aqui, vimos que:
Como os limites laterais não são iguais ( ), a função não é contínua em .

Passo 7

Agora, sobre a derivabilidade. Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Já vimos que a função não é contínua em , então ela automaticamente não é derivável ali.

Resposta

A função não é contínua em e, consequentemente, não é derivável nesse ponto.

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