Encontre uma equacão da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado:
x=t \operatorname{sen} t, y=t \cos t ; t=\pi^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma equação da reta tangente à curva paramétrica dada no ponto correspondente ao valor do parâmetro t=\pi^{2}.
Informações fornecidas:
x(t)=t\sin t,\qquad y(t)=t\cos t,\qquad t=\pi^{2}.
O que se quer: a equação da tangente à curva no ponto de parâmetro t=\pi^{2}. Não vamos ainda calcular nada aqui, só identificamos o pedido e os dados.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
  1. Slope (coeficiente angular) da tangente a uma curva paramétrica.
    Se uma curva é dada por x=x(t) e y=y(t) e as derivadas x'(t) e y'(t) existem, então a derivada dy/dx (ou seja, a inclinação da reta tangente) é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Intuição simples: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) porque dy/dx = \lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta t\to0}\dfrac{\Delta y/\Delta t}{\Delta x/\Delta t}.
  1. Regra do produto para derivadas (vamos precisar porque x(t) e y(t) têm um fator t multiplicando seno/cosseno).
    Se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{dt}[u(t)v(t)] = u'(t)v(t) + u(t)v'(t).
Aqui usaremos com u(t)=t e v(t)=\sin t ou v(t)=\cos t.
  1. Derivadas básicas das funções trigonométricas:
\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t,\qquad \frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.
Com isso já podemos derivar x(t) e y(t) e obter a inclinação da tangente.

Passo 3

Calcular x'(t) usando a regra do produto em x(t)=t\sin t:
x'(t)=\frac{d}{dt}[t]\cdot\sin t + t\cdot\frac{d}{dt}[\sin t] = 1\cdot\sin t + t\cdot\cos t.
Portanto
x'(t)=\sin t + t\cos t.

Passo 4

Calcular y'(t) usando a regra do produto em y(t)=t\cos t:
y'(t)=\frac{d}{dt}[t]\cdot\cos t + t\cdot\frac{d}{dt}[\cos t] = 1\cdot\cos t + t\cdot(-\sin t).
Portanto
y'(t)=\cos t - t\sin t.

Passo 5

Montar a expressão para a inclinação m da tangente em ponto geral t:
\frac{dy}{dx} = \frac{y'(t)}{x'(t)} = \frac{\cos t - t\sin t}{\sin t + t\cos t}.
Agora avaliamos em t=\pi^{2}:
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\pi^{2}}=\frac{\cos(\pi^{2}) - \pi^{2}\sin(\pi^{2})}{\sin(\pi^{2}) + \pi^{2}\cos(\pi^{2})}.

Passo 6

Calcular as coordenadas do ponto da curva quando t=\pi^{2}:
x_{0}=x(\pi^{2})=\pi^{2}\sin(\pi^{2}),\qquad y_{0}=y(\pi^{2})=\pi^{2}\cos(\pi^{2}).
A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação é
y-y_{0}=m\,(x-x_{0}).
Substituindo x_{0},y_{0} e m obtidos:
y-\pi^{2}\cos(\pi^{2}) = \frac{\cos(\pi^{2}) - \pi^{2}\sin(\pi^{2})}{\sin(\pi^{2}) + \pi^{2}\cos(\pi^{2})}\,\bigl(x-\pi^{2}\sin(\pi^{2})\bigr).
Essa é a equação da tangente pedida. Se quiser escrever na forma y=mx+b basta desenvolver o lado direito e isolar y, mas a forma ponto-inclinação é limpa e correta.

Resposta

y-\pi^{2}\cos(\pi^{2}) = \frac{\cos(\pi^{2}) - \pi^{2}\sin(\pi^{2})}{\sin(\pi^{2}) + \pi^{2}\cos(\pi^{2})}\,\bigl(x-\pi^{2}\sin(\pi^{2})\bigr)

Exercícios relacionados