Encontre os pontos críticos da função
em seguida use o teste da segunda derivada para determinar se cada ponto crítico é mínimo local, máximo local ou ponto de sela (ou indique quando o teste é inconclusivo).
Passo 1
Temos a função
Informações dadas:
- A função usa logaritmos naturais, então seu domínio exige
e . - O que o enunciado pede: (1) encontrar os pontos críticos de
; (2) usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela (ou indicar teste inconclusivo).
Passo 2
O que é um ponto crítico (explicação didática)?\n
- Um ponto
é crítico se o gradiente de em é o vetor nulo ou se alguma das derivadas parciais não existe ali. Em prática de prova, normalmente calculamos as derivadas parciais e e resolvemos o sistema onde ambas são zero, desde que o ponto esteja no domínio. Vou usar esse procedimento aqui porque é o método padrão e direto para funções de duas variáveis.\n
Relembrando regras de derivação que vou usar (mini-aula):\n - A derivada de
em relação a é . Mais geralmente, se , então .\n - A derivada de
em relação a é , porque constantes saem da derivada.\n - A derivada de
em relação a é ; a de em relação a é .\n
Com isso, vamos calcular as derivadas parciais e resolver o sistema.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais primeiro (passo a passo):\n
Derivando em relação a :
Derivando em relação a
Aqui
é tratado como constante quando derivamos em
. Assim,
Derivando em relação a
:
Agora
é constante quando derivamos em
. Assim,
Pontos críticos satisfazem o sistema
e
. Resolvendo:
Verificamos que
pertence ao domínio
. Não há outros pontos onde as derivadas parciais deixem de existir dentro do domínio, pois
e
são bem definidas para
. Portanto há exatamente um ponto crítico:
.
Passo 4
Agora vou explicar o teste da segunda derivada (mini-aula):\n
- Calculamos as segundas derivadas parciais
, e . Montamos o determinante de Hessian (às vezes chamado de discriminante) em um ponto :
- Interpretação prática do teste:
- Se
e em , então tem um mínimo local em . - Se
e em , então tem um máximo local em . - Se
, então é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.\n
Intuição rápida:mede curvatura na direção ; se a curva é “para baixo” em (como um teto), e se é “para cima” (como uma tigela). O determinante verifica se as curvaturas nas duas direções combinam para dar um mínimo/ máximo ou sinais opostos (sela).
- Se
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas e avaliemos em
:\n
Segundas derivadas gerais:
Segundas derivadas gerais:
(observe que
não depende de
, logo a derivada cruzada é zero; sim, isso acontece e facilita a conta).
Agora avaliando em
:
Calculemos o determinante
:
Portanto
. Além disso
. Pelo teste da segunda derivada, quando
e
temos um máximo local.
Passo 6
Conclusão (resumo e encorajamento):\n
- Encontramos exatamente um ponto crítico dentro do domínio:
.\n - O teste da segunda derivada deu
e naquele ponto, então é um máximo local.\n
Boa: você já tem o processo completo e explicado passo a passo — agora, se cair algo parecido na prova, é só repetir: achar gradiente, resolver igual a zero, calcular a Hessiana e aplicar o teste.